La banda de Möbius: fácil de crear, difícil de comprender

Actualizado el 27 septiembre, 2022

Las matemáticas de objetos de apariencia simple pueden ser sorprendentemente desconcertantes. Un gran ejemplo de esto es la banda o cinta de Möbius.

Es un objeto de una cara que se puede hacer simplemente girando una hoja de papel y conectando los extremos con cinta adhesiva. Si siguieras el bucle con el dedo, finalmente terminarías donde comenzaste, habiendo tocado toda la superficie del bucle a lo largo del viaje. Esta simple creación, la banda de Möbius, es fundamental para todo el campo de la topología y sirve como ejemplo por excelencia de varios principios matemáticos.

Uno de estos principios es la “no orientabilidad”, que es la incapacidad de los matemáticos para asignar coordenadas a un objeto, digamos hacia arriba o hacia abajo, o de lado a lado. Este principio tiene algunos resultados interesantes, ya que los científicos no están completamente seguros de si el universo es orientable.

Esto plantea un escenario desconcertante: si un cohete con astronautas volara al espacio durante el tiempo suficiente y luego regresara, asumiendo que el universo no era orientable, es posible que todos los astronautas a bordo regresen al revés.

En otras palabras, los astronautas regresarían como imágenes especulares de ellos mismos, completamente volteados. Sus corazones estarían a la derecha en lugar de a la izquierda y pueden ser zurdos en lugar de diestros. Si uno de los astronautas hubiera perdido la pierna derecha antes del vuelo, al regresar, al astronauta le faltaría la pierna izquierda. Esto es lo que sucede al atravesar una superficie no orientable como una banda de Möbius.

Si bien, esto puede resultar un poco desconcertante, debemos dar un paso atrás. ¿Qué es una banda de Möbius y cómo se puede hacer un objeto con matemáticas tan complejas simplemente girando una hoja de papel?

La historia de la banda de Möbius

La banda de Möbius (a veces escrita como «cinta de Mobius») fue descubierta por primera vez en 1858 por un matemático alemán llamado August Möbius mientras investigaba teorías geométricas. Si bien a Möbius se le atribuye en gran parte el descubrimiento (de ahí el nombre de la banda), fue descubierto casi simultáneamente por un matemático llamado Johann Listing. Sin embargo, se abstuvo de publicar su trabajo y August Möbius lo derrotó.

La banda en sí se define simplemente como una superficie no orientable de un solo lado que se crea agregando un medio giro a una cinta. Las cintas de Möbius pueden ser cualquier banda que tenga un número impar de medias vueltas, lo que finalmente hace que la banda solo tenga un lado y, en consecuencia, un borde.

El descubrimiento de la banda de Möbius también fue fundamental para la formación del campo de la topología matemática, el estudio de las propiedades geométricas que permanecen sin cambios cuando un objeto se deforma o estira. La topología es vital para ciertas áreas de las matemáticas y la física, como las ecuaciones diferenciales y la teoría de cuerdas.

Usos prácticos de la banda de Möbius

La banda de Möbius es más que una gran teoría matemática: tiene algunas aplicaciones prácticas interesantes, ya sea como ayuda para la enseñanza de objetos más complejos o en maquinaria.

Por ejemplo, dado que la banda de Möbius es físicamente unilateral, el uso de bandas de Möbius en cintas transportadoras y otras aplicaciones asegura que la banda en sí no sufra un desgaste desigual a lo largo de su vida. El profesor asociado NJ Wildberger de la Escuela de Matemáticas de la Universidad de Nueva Gales del Sur, Australia, explicó durante una serie de conferencias que a menudo se agrega un giro a las correas de transmisión en las máquinas, «a propósito para usar la correa uniformemente en ambos lados».

El Dr. Edward English Jr., profesor de matemáticas de la escuela secundaria y exingeniero óptico, dice que cuando supo por primera vez sobre la banda de Möbius en la escuela primaria, su maestro le pidió que creara una con papel, cortando la banda de Möbius a lo largo de su longitud, lo que creó una cinta más larga con dos giros completos.

«Estar intrigado y expuesto a este concepto de dos ‘estados’ me ayudó. Varias ideas de mecánica cuántica no eran conceptos tan extraños para mí de aceptar y comprender porque la banda de Möbius me presentó tales posibilidades». Para muchos, la banda de Möbius sirve como la primera introducción a la geometría y las matemáticas complejas.

¿Cómo se crea una banda de Möbius?

Crear una banda de Möbius es increíblemente fácil. Simplemente debes coger un pedazo de papel y cortarlo en una tira delgada, digamos de unos 2,5 o 5 centímetros. Una vez que hayas cortado la tira, simplemente debes girar uno de los extremos 180 grados. Luego, debes coger un trozo de cinta adhesiva y conectar ese extremo al otro extremo, creando un anillo con medio giro en el interior. ¡Ahora tienes una banda de Möbius!

Puedes observar mejor los principios de esta forma siguiendo los lados de la tira con el dedo. Finalmente, completarás la forma y encontrarás tu dedo donde comenzó.

Si cortas una banda de Möbius por el centro, a lo largo de toda su longitud, te queda un bucle más grande con cuatro medias vueltas. Esto te deja con una forma circular retorcida, pero una que todavía tiene dos lados. Es esta dualidad que mencionó el Dr. English lo ayudó a comprender principios más complejos.

Fuente: How Stuff Works