¿Qué son los números primos y por qué son importantes?

Si recuerdas vagamente la clase de matemáticas de la escuela primaria, es posible que no recuerdes qué es un número primo. Es una pena, porque si estás tratando de mantener tus correos electrónicos a salvo de los piratas informáticos o navegar por la web de forma confidencial en una red privada virtual (VPN), estás utilizando números primos sin siquiera darte cuenta.

Esto se debe a que los números primos son una parte crucial del cifrado RSA, una herramienta común para proteger la información, que utiliza números primos como claves para desbloquear los mensajes ocultos dentro de galimatías digitales. Además, los números primos tienen otras aplicaciones en el mundo tecnológico moderno, sin ir más lejos en la definición de la intensidad del color de los píxeles en la pantalla que estás mirando en este momento.

Entonces, ¿qué son los números primos? ¿Cómo llegaron a ser tan importantes en el mundo moderno?

Como explica Wolfram MathWorld, un número primo es un número positivo mayor que 1 que solo se puede dividir entre uno y si mismo.

El único número primo par es 2. Todos los demás números primos son números impares.

Números como 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17 se consideran números primos. Números como 4, 6, 8, 9, 10 y 12 no lo son porque pueden dividirse entre otros números diferentes a uno y a ellos mismos. Por ejemplo, el 9 puede dividirse entre 3, además de entre 1 y 9…

Mark Zegarelli, autor de numerosos libros sobre matemáticas de la popular serie «For Dummies», que también imparte cursos de preparación para exámenes, ofrece una ilustración sobre monedas que utiliza con algunos de sus alumnos para explicar la diferencia entre números primos y compuestos.

«Piensa en el número 6», dice Zegarelli, citando un número compuesto. «Imagina que tienes seis monedas. Podrías formar un rectángulo, con dos filas de tres monedas. Lo mismo si piensas en el 8, poniendo cuatro monedas en dos filas.

«Pero si coges el número 5», señala Zegarelli, «lo único que puedes hacer es encadenarlo en una línea, una sola fila de cinco monedas. Por lo tanto, podrías llamar al 5 un número no rectangular. Es más fácil es llamarlo número primo».

El matemático griego Euclides, alrededor del año 300 a. C., ideó una prueba de la infinitud de los primos, que puede haber sido la primera prueba matemática que muestra que hay un número infinito de primos. (En la antigua Grecia, donde el concepto moderno de infinito no se entendía del todo, Euclides describió la cantidad de números primos simplemente como «más que cualquier multitud asignada de números primos»).

Otra forma de entender los números primos y compuestos es pensar en ellos como el producto de factores, dice Zegarelli. «2 por 3 es igual a 6, por lo que 2 y 3 son factores de 6. Entonces, hay dos formas de hacer seis: 1 por 6 y 2 por 3. Me gusta pensar en ellos como pares de factores. Entonces, con un número compuesto, tienes múltiples pares de factores, mientras que, con un número primo, solo tienes un par de factores, uno y el número mismo».

Demostrar que el número de números primos es infinito no es tan difícil, dice Zegarelli. «Imagina que hay un último número primo más grande. Lo llamaremos P. Entonces, tomaré todos los números primos hasta P y los multiplicaré todos juntos. Si hago eso y agrego uno al producto, ese número tiene que ser primo».

Si un número es compuesto, por el contrario, siempre es divisible por alguna cantidad de números primos más bajos. «Un número compuesto también podría ser divisible por otros compuestos, pero eventualmente, puedes descomponerlo en un conjunto de números primos». (Un ejemplo: el número 48 tiene 6 y 8 como factores, pero puedes dividirlo más en 2 veces 3 veces 2 veces 2 veces 2.)

Por qué son importantes los números primos

Entonces, ¿por qué los números primos han fascinado tanto a los matemáticos durante miles de años? Como explica Zegarelli, muchas matemáticas superiores se basan en números primos. Pero también está la criptografía, en la que los números primos tienen una importancia crítica, porque los números realmente grandes poseen una característica particularmente valiosa. No existe una manera rápida y fácil de saber si son primos o compuestos, dice.

La dificultad de discernir entre números primos enormes y compuestos enormes hace posible que un criptógrafo obtenga números compuestos enormes que son factores de dos números primos realmente grandes, compuestos por cientos de dígitos.

«Imagina que la cerradura de tu puerta es un número de 400 dígitos», dice Zegarelli. «La clave es uno de los números de 200 dígitos que se usaron para crear ese número de 400 dígitos. Si tengo uno de esos factores en mi bolsillo, tengo la llave de la casa». Pero si no tengo esos factores, es bastante difícil entrar.

Es por eso que los matemáticos han continuado trabajando para llegar a números primos cada vez más grandes, en un proyecto en curso llamado Great Internet Mersenne Prime Search. El 7 de diciembre de 2018, ese proyecto llevó al descubrimiento de un número primo que constaba de 23.249.425 dígitos, suficiente para llenar 9.000 páginas de un libro. Se necesitaron 14 años de cálculos para llegar al primo gigantesco, que es más de 230.000 veces más grande que el número estimado de átomos en el universo observable.

El último descubrimiento es [(2^82.589.933)−1] y tiene 24.862.048 de dígitos. Fue encontrado el 7 de diciembre por Patrick Laroche, un profesional de TI de 35 años, en Ocala, Florida, gracias al software Prime95 de GIMPS, un proyecto colaborativo para buscar los números primos de Mersenne, que reciben el nombre de un fraile que estudió los números hace más de tres siglos.

 

Fuente: How Stuff Works

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