Directas Sandra:

  I=∫(3/x - x/3)dx = ∫(3/x)dx - ∫(x/3)dx 

I= 3ln(x) - x²/6 +C

Todo aquí, paso a paso: https://www.calculadora-de-integrales.com/#expr=%283%2Fx%29%20-%20x%2F3

Ya lo puedes acabar tú.

Haces pasaje de término, y la ecuación  queda:

(z - 1)⁴ = -16,

luego, expresas al número complejo real negativo en forma polar (módulo-argumento), y queda:

(z - 1)⁴ = 16_180°,

haces pasaje de potencia como raíz, y queda:

z - 1 = ⁴√(16_180°);

luego, aplicas la Fórmula de De Moivre para las raíces, y queda:

z - 1 = (⁴√(16))_{(180°+360°*k)/4}, con k = 0, 1, 2, 3;

luego, resuelves la raíz en el módulo, distribuyes el denominador y simplificas en el argumento, y queda:

z - 1 = 2_{(45°+90°*k)}, con k = 0, 1, 2, 3;

luego, haces pasaje de término, y tienes la expresión general de las soluciones de la ecuación:

z = 1 + 2_{(45°+90°*k)}, con k = 0, 1, 2, 3.

Luego, reemplazas valores, y tienes cuatro soluciones:

z₀ = 1 + 2_45° = 1 + 2*(cos(45°) + sen(45°)*i) = 1 + 2*√(2)/2 + (2*√(2)/2)*i = ( 1+√(2) ) + √(2)*i;

z₁ = 1 + 2_135° = 1 + 2*(cos(135°) + sen(135°)*i) = 1 + 2*(-√(2)/2) + (2*√(2)/2)*i = ( 1-√(2) ) + √(2)*i (esta es la solución que consignas en tu enunciado);

z₂ = 1 + 2_225° = 1 + 2*(cos(225°) + sen(225°)*i) = 1 + 2*(-√(2)/2) + (2*(-√(2)/2))*i = ( 1-√(2) ) - √(2)*i;

z₃ = 1 + 2_315° = 1 + 2*(cos(315°) + sen(315°)*i) = 1 + 2*√(2)/2 + (2*(-√(2)/2))*i = ( 1+√(2) ) - √(2)*i.

Espero haberte ayudado.

Muchísimas gracias

Vamos con un ejemplo.

Considera que la recta tangente a la circunferencia tiene ecuación: y = (3/4)x + 25/4, y que el centro de la circunferencia es: C(0,0).

Luego, plantea la ecuación de la recta perpendicular a la tangente (observa que su pendiente es: m =-1/(3/4) = -4/3), que pasa por el centro de la circunferencia, que en este caso es el origen de coordenadas, y tienes la ecuación (te dejo el planteo):

y = -(4/3)x.

Luego, plantea la intersección entre la recta tangente y la recta perpendicular, para ello igualas expresiones, y queda:

(3/4)x + 25/4 = -(4/3)x, multiplicas por 12 en todos los términos de la ecuación, y queda:

9x + 75 = - 16x, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

25x = -75, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

x = -3, que es la abscisa del punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

luego, reemplazas en las ecuaciones de las rectas, y tienes:

y = 4, que es la ordenada del punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

por lo tanto, tienes que el punto de contacto queda expresado: A(-3,4).

Luego, plantea que el radio de la circunferencia es igual a la distancia entre su centro y el punto de contacto,

haces el cálculo, y queda: R = 5.

Luego, tienes que la ecuación cartesiana de la circunferencia queda:

x² + y² = 25.

Espero haberte ayudado.

Te sugiero un camino.

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

x = u²+ 1, de donde tienes:

dx = 2*u*du, y también tienes:

√(x-1) = √(u²) = u (1).

Luego, tienes la integral:

I = ∫ x*√(x-1)*dx, sustituyes expresiones, y queda:

I = ∫ (u²+ 1)*u*2*u*du, extraes el factor constante, reduces factores semejantes y distribuyes en el argumento de la integral, y queda:

I = 2 * ∫ (u⁴ + u²)*du, resuelves la integral, y queda:

I = 2 * (u⁵/5 + u³/3) +C, distribuyes el factor constante, y queda:

I = (2/5)*u⁵ + (2/3)*u³ + C, sustituyes la expresión remarcada en la cadena de igualdades señalada (1), expresas como potencias con exponentes fraccionarios, y queda:

I = (2/5)*(x - 1)^5/2 + (2/3)*(x - 1)^3/2 + C.

Espero haberte ayudado.

A mi me parece que está perfecta la integración por partes.

Puedes hacer sustituciones por ejemplo: u= x- 1 ; u=√(x-1) ; 

Depende de ti cómo se te facilite más. 

Aquí lo tienes paso a paso: http://m.wolframalpha.com/input/?i=gram+schmidt+%7B%7B1%2C1%2C1%7D%2C%7B1%2C-1%2C1%7D%2C%7B1%2C1%2C-1%7D%7D

Si los autovectores son linealmente independientes (esto es , si lo espacios propios tienen una dimensión igual a la multiplicidad algebraica del correspondiente autovalor), sí.