De "Álgebra Recreativa" (Yakov Perelman). Editorial MIR (Moscú).

¡Perfecta lbp_14!

¡Está perfecta!

Planteas la ecuación cartesiana explícita de la recta r, y queda:

y = (4/5)x - 2/5, 

y tienes que la pendiente de la recta r es: m_r = 4/5,

por lo que tienes que la tangente de su ángulo de inclinación queda expresada: tan(α) = 4/5 (1).

Luego, tienes dos opciones para el ángulo de la recta buscada:

1)

β = α - 45°,

cuya tangente queda expresada (recuerda la identidad trigonométrica de la tangente de la resta de dos ángulos):

tan(β) = tan(α - 45°) = ( tan(α) - tan(45°) )/( 1 + tan(α)*tan(45°) ) = ( tan(α) - 1 )/( 1 + 1*tan(45°) ),

reemplazas valores, y queda:

tan(β) = ( tan(α) - 1 )/( 1 + 1*tan(45°) ),

reemplazas el valor señalado (1), y queda:

tan(β) = (4/5 - 1)/(1 + 1*4/5) = (-1/5)/(9/5) = -1/9,

luego, tienes que la pendiente de la primera recta queda: m₁ = -1/9,

y como tienes que el punto A(3,2) pertenece a la recta, planteas su ecuación punto-pendiente, y queda:

y - 2 = -(1/9)*(x - 3), distribuyes en el segundo miembro, y queda:

y - 2 = -(1/9)x + 1/3, haces pasaje de término, reduces términos semejantes, y queda:

y = -(1/9)x + 7/3, que es la ecuación cartesiana explícita de la primera recta buscada.

2)

γ = α + 45°,

cuya tangente queda expresada (recuerda la identidad trigonométrica de la tangente de la suma de dos ángulos):

tan(γ) = tan(α + 45°) = ( tan(α) + tan(45°) )/( 1 - tan(α)*tan(45°) ) = ( tan(α) +1 )/( 1 - 1*tan(45°) ),

reemplazas valores, y queda:

tan(β) = ( tan(α) + 1 )/( 1 - 1*tan(45°) ),

reemplazas el valor señalado (1), y queda:

tan(γ) = (4/5 + 1)/(1 - 1*4/5) = (9/5)/(1/5) = 9,

luego, tienes que la pendiente de la segunda recta queda: m₂ = 9,

y como tienes que el punto A(3,2) pertenece a la recta, planteas su ecuación punto-pendiente, y queda:

y - 2 = 9*(x - 3), distribuyes en el segundo miembro, y queda:

y - 2 = 9x - 27, haces pasaje de término, reduces términos semejantes, y queda:

y = 9x - 25, que es la ecuación cartesiana explícita de la segunda recta buscada.

Espero haberte ayudado.

1)

Gastos en alquiler: x = (1/4)*1200 = 300 euros (observa que quedan: 900 euros);

Reserva para gastos de comida: y = (1/2)*900 = 450 euros (observa que quedan: 450 euros);

Reserva para gasolina: z = (1/3)*450 = 150 euros,

y observa que quedan: w = 300 euros.

2)

Puedes designar con x a la cantidad de agua en el depósito.

Luego tienes que se saca:

(1/4)x en el primer día,

(2/5)x en el segundo día,

(1/10)x en el tercer día,

y quedan 4000 litros;

luego, plantea la ecuación:

x = (1/4)x + (2/5)x + (1/10)x + 4000,

multiplicas en todos los términos de la ecuación por 20, y queda:

20x = 5x + 8x + 2x + 80000,

haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

5x = 80000, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

x = 16000 litros.

Espero haberte ayudado.

Es simplemente otro cambio de variable, hace lo mismo que en el anterior pero en función de "y". Entonces encuentra que cuando "n" tiende a infinito, "y" tiende a un numero muy pequeño (es decir 0, ya que realmente estamos trabajando con límites, un numero real dividido entre 0 siempre tiende a +-infinito).

Finalmente llega al limite que calculamos en el ejercicio anterior, por lo tanto, ya sabemos cual es la solución.

¡Espero haberte ayudado!

No lo he dado aún jajaja, pero es fácil de entender. Para calcular el límite asigna a alfa a^x-1. Entonces aplicando ln a cada lado y desarroyando la igualdad encuentra que cuando x --> 0, pues alfa también tiende a 0. Finalmente, sustituye el valor de a^x-1 por alfa en el numerador del límite y hace lo mismo en el denominador (sustituye x por el valor que ha encontrado justo arriba). Y simplemente, aplicando propiedades de logaritmos acaba de resolver el límite, pero en función de alfa cuando tiende a 0).

¡Espero que te ayude!

Por curiosidad, ¿que curso estás haciendo?

El cambio de variable

Como calcular el límite

Espero que te ayude, más no puedo hacer. Puedes mirarte las propiedades de los logaritmos aquí: https://www.vitutor.com/al/log/ecu5_Contenidos.html

Aquí explicado mejor la definición del número e a partir de límites: http://matematicatuya.com/limite/s3.html

Para que una función sea derivable en un punto x, entonces las derivadas laterales en ese punto deben coincidir. Si se da esta condición podremos asegurar que la función es derivable en ese punto x y además continua (ya que si una función es derivable, es necesariamente continua). El recíproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene por qué ser derivable en ese punto.

¡Espero haberte ayudado!

Teorema de Rouche