Observa el triángulo rectángulo NMS:

el cateto opuesto al ángulo θ es NM, cuya medida es|NM| = 5, y el cateto adyacente es MS, cuya medida queda expresada: |MS|;

luego, la expresión de la tangente del ángulo indicado queda:

tanθ = |NM|/|MS|, reemplazas el valor conocido en el numerador, y queda:

tanθ = 5 /|MS| (1).

Observa el triángulo rectángulo YMS:

el cateto opuesto al ángulo θ es MS, cuya medida queda expresada:|MS|, y el cateto adyacente es YM, cuya medida es: |YM| = |YN| + |NM| = 4 + 5 = 9;

luego, la expresión de la tangente del ángulo indicado queda:

tanθ = |MS|/|YM|, reemplazas el valor conocido en el denominador, y queda:

tanθ = |MS| / 9 (2).

Luego, igualas las expresiones señaladas (2) (1), y queda:

|MS| / 9 = 5 /|MS|, haces pasajes de divisores como factores, y queda:

|MS|² = 45, haces pasaje de potencia como raíz, y queda:

|MS| = √(45) = √(9*5) = √(9)*√(5) = 3*√(5) (3).

Luego, reemplazas el valor señalado (3) en la ecuación señalada (2), y queda:

tanθ = 3*√(5) / 9 = √(5) / 3.

Luego, a modo de verificación, reemplazas el valor señalado (3) y el valor remarcado en la ecuación señalada (1), y queda:

√(5) / 3 = 5 / ( 3*√(5) ), multiplicas al numerador y al denominador del primer miembro por √(5), y queda:

( √(5) )² / ( 3*√(5) ) = 5 / ( 3*√(5) ), simplificas en el numerador del primer miembro, y queda:

5 / ( 3*√(5) ) = 5 / ( 3*√(5) ), que es una identidad verdadera, por lo que se verifica que el valor remarcado es la respuesta correcta,

que corresponde a la opción señalada (d).

Espero haberte ayudado.

 Me quede con una duda ; ¿porque se multiplica por √(5) en el primer miembro como lo indicas ? si se racionaliza cuando la raíz queda en el denominado.

Buenas!, no necesariamente para racionalizar la raíz debe estar en el denominador, se estila hacerlo para que no sea complicado trabajarlo, sin embargo también se puede hacer con los numeradores. 

A mi me sale 

Tienes la expresión de la función, cuya forma es:

f(x) = u/v,

con u = lnx, cuya derivada queda expresada: u ' = 1/x, y

con v = e^x, cuya derivada queda expresada: v ' = e^x.

Luego, plantea la regla del cociente:

f ' (x) = [ u ' * v - u * v ' ] / v², 

luego sustituyes expresiones, y queda:

f ' (x) = [ (1/x)*e^x - lnx*e^x ] / (e^x)²,

luego, extraes factor común en el numerador, y queda:

f ' (x) = e^x*[ 1/x - lnx ] / (e^x)²,

simplificas expresiones exponenciales, y queda:

f ' (x) = [ 1/x - lnx ] / e^x.

Espero haberte ayudado.

gracias amigo eres un gran tipo

Puedes comenzar por reescribir la expresión en forma exponencial:

f(x) = x^-x = (e^lnx)^-x = e^-x*lnx, y observa que el dominio de la función es: D = (0,+∞).

Luego, plantea la expresión de la función derivada primera (observa que debes aplicar la regla de la cadena y a regla del producto):

f ' (x) = e^-x*lnx*(-lnx - 1) = -e^-x*lnx*(lnx + 1),  observa que está definida en todo el dominio de la función.

Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión de la función derivada en el primer miembro, y queda:

-e^-x*lnx*(lnx + 1) = 0, haces pasaje del factor exponencial (recuerda que toma valores estrictamente positivos) como divisor, y queda:

-(lnx -+ 1) = 0, multiplicas en todos los términos de la ecuación por -1, y queda:

lnx + 1 = 0, haces pasaje de término, y queda:

lnx = - 1, compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural, y queda:

x = e^-1 ≅ 0,368.

Luego, divides el dominio en intervalos, eliges un representante en cada uno de ellos y evalúas el signo que toma la función derivada primera:

I₁ = (0,e^-1), representado por x = 0,1, y para él la función derivada primera toma el valor: f ' (0,1) = -e^-0,1*ln(0,1)*(ln(0,1) + 1) ≅ 1,640 > 0,

por lo que tienes que la función es creciente en este intervalo;

I₂ = (e^-1,+∞), representado por x = 1, y para él la función derivada primera toma el valor: f ' (1) = -e^-1*ln(1)*(ln(1) + 1) = -1 < 0,

por lo que tienes que la función es decreciente en este intervalo;

luego, puedes concluir que la función alcanza un máximo en x = e^-1, y el valor de la función para él es: f(e^-1) =e^(e^-1*ln(e^-1)) ≅ 0,692.

Espero haberte ayudado.

La mediana divide al triángulo en dos triángulo equivalentes. Entonces:  área(ABE)=(1/2) área(ABC)=48 cm^2

Y área(ABD)=(1/2)área(ABE)=24 cm^2

Cada uno de ellos tiene 24 cm^2 

Veamos... mmm te fice el ejercicio que encuentres la hipotenusa... pues usa pitagoras h^2= c^2+c^2

Te esta diciendo que d e y f esta cortados en partes iguales... pues lo hace mas facil aun...

Al sacar la hipotenusa lo divides para 3 entonces ya tendrias 4 catetos y 2 hipotenusas... pero dices que solo quieres los triangulos D E y F entonces usas de nuevo pitagoras despejas la formula y te quedara de esta manera raiz de h^2-c^2=c

Ahora que tienes la formula... la resuelves a cada uno de los triangulos... cuando tengas los lados de cada triangulo sacas el area que seria...

A=((base)(altura))/2 

Y tendras que hacer en cada triangulo de nuevo el teorema de pitagoras para formar un triangulo rectangulo y sacar la altura... en fin aqui no te puedo ecplicar bien pero te di todas las herramirntas para resolver tu tarea. Suerte

Así está simplificado al máximo (sólo podrías expresar de manera diferente).

La otra manera de presentar esa raiz es es de la siguiente forma vamos a suponer que esto simbolo (₩) es la raiz porque no tengo en el teclado

Entonses seria asi

₩5+₩5 

₩₩5^2+5

₩₩25+5

₩₩30

^4₩30  Esta es la una forma de expresarla

Y esta es la otra forma 

30^1/4

Si no sabes que significa "^" es el exponente... se usa en calculadoras cientificas para expresar un exponente... espero te aya ayudado

Daniel, √(5+√5) ≠ √√(5²+5)      !!!!

a)

Tienes que la región está limitada por dos curvas, cuyas ecuaciones son:

x² + y² = 36, que corresponde a una circunferencia con centro: C(0,0) y radio: R = 6,

y² = 9x, que corresponde a una parábola con vértice: V(0,0), y eje de simetría OX positivo.

Luego, restas miembro a miembro entre ambas ecuaciones y queda:

x² = 36 - 9x, haces pasajes de términos, y queda:

x² + 9x - 36 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

x₁ = -12, que no corresponde a un punto perteneciente a la parábola (recuerda que su eje de simetría es OX positivo);

x₂ = 3, que al reemplazar en la ecuación de la parábola queda:

y² = 27, haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos opciones:

y_a = -√(27), por lo que tienes el punto: A( 3 , -√(27) ), que puedes verificar pertenece a las dos curvas;

y_b = √(27), por lo que tienes el punto: B( 3 , √(27) ), que puedes verificar pertenece a las dos curvas.

Luego, haz un gráfico, y podrás observar que la región está limitada "por la izquierda" por la paraábola, y "por la derecha" por la circunferencia,

por lo que puedes plantear elementos horizontales de área para integrar, y para ello planteas las ecuaciones explícitas para x en ambas curvas, y quedan:

x = √(36 - y²), y observa que elegimos el signo positivo por tratarse de la semicircunferencia "derecha",

x = y²/9, que corresponde a la parábola.

Luego, plantea para el área:

A = ∫ [ √(36 - y²) - y²/9 ]*dy, para evaluar con Regla de Barrow entre: y_a = -√(27) e y_b = √(27).

Luego, queda que integres cada término por separado, y observa que para el primer término puedes emplear la sustitución (cambio de variable): y = 6*senw, y observa que la integral del segundo término es directa.

Haz el intento, y si te resulta necesario, no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Recuerda una de las propiedades del valor absoluto con las desigualdades:

|u| < a es equivalente a: -a < u < a (1).

Luego, aplicas la propiedad señalada (1), y la inecuación de tu enunciado queda:

-4 < x² - |3+2x| < 4.

Luego, aplicas la definición de valor absoluto y tienes dos opciones:

a)

3 + 2x ≥ 0, haces pasaje de término, y luego de factor como divisor, y queda: x ≥ -3/2 (2);

luego, sustituyes (observa que el argumento del valor absoluto es positivo), y la doble inecuación queda:

-4 < x² - (3+2x) < 4, distribuyes el signo en el agrupamiento, ordenas términos, y queda:

-4 < x² - 2x - 3 < 4, sumas 4 en los tres miembros de la doble inecuación, y queda:

0 < x² - 2x + 1 < 8, factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el miembro central, y queda:

0 < (x-1)² < 8;

luego, observa que la primera desigualdad se verifica para x ≠ 1 (3),

y en la segunda desigualdad haces pasaje de potencia como raíz (observa que el exponente es par), y queda:

|x-1| < √(8), aplicas la propiedad señalada (1), y queda:

-√(8) < x - 1 < √(8), sumas 1 en los tres miembros de la doble inecuación, y queda:

-√(8) + 1 < x < √(8) + 1 (4);

luego, el subintervalo solución para esta opción, cuyos elementos cumplen las condiciones señaladas (2) (3) (4) queda:

I_a = ( -3/2 , 1 ) u ( 1 , √(8)+1 );

b)

3 + 2x < 0, haces pasaje de término, y luego de factor como divisor, y queda: x < -3/2 (5);

luego, sustituyes (observa que el argumento del valor absoluto es negativo), y la doble inecuación queda:

-4 < x² - [-(3+2x)] < 4, distribuyes los signos en el agrupamiento, ordenas términos, y queda:

-4 < x² + 2x + 3 < 4, restas 2 en los tres miembros de la doble inecuación, y queda:

-6 < x² + 2x + 1 < 2, factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el miembro central, y queda:

-6 < (x-1)² < 2;

luego, observa que la primera desigualdad se verifica para todo x real, ya que su primer miembro es estrictamente negativo y sus segundo miembro es positivo,

y en la segunda desigualdad haces pasaje de potencia como raíz (observa que el exponente es par), y queda:

|x-1| < √(2), aplicas la propiedad señalada (1), y queda:

-√(2) < x - 1 < √(2), sumas 1 en los tres miembros de la doble inecuación, y queda:

-√(2) + 1 < x < √(2) + 1 (6);

luego, el subintervalo solución para esta opción, cuyos elementos cumplen las condiciones señaladas (5) (6) queda:

I_b = ( -√(8)+1 , -3/2 ).

Luego, plantea el intervalo solución como la unión de los subintervalos:

I = I_b u I_a = ( -√(8)+1 , -3/2 ) u ( -3/2 , 1 ) u ( 1 , √(8)+1 ).

Espero haberte ayudado.

Has comenzado bien, al aplicar la identidad del seno del doble de un ángulo, y la ecuación queda:

2*senx*cosx - cosx = 0,

luego, observa que puedes extraer factor común, y queda:

cosx*(2*senx - 1) = 0,

luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:

a)

cosx = 0, aquí compones con la función inversa del coseno, y queda:

x = ±90°+180°*k, con k ∈ Z (en grados);

b)

2*senx - 1 = 0, haces pasaje de término, y queda:

2*senx = 1, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

senx = 1/2,

luego compones con la función inversa del seno, y tienes dos opciones:

b₁)

x = 30°+360°*m, con m ∈ Z (en grados, en el primer cuadrante),

b₂)

x = 150°+360°*n, con n ∈ Z (en grados, en el segundo cuadrante),

Espero haberte ayudado.