Si la ecuación es:

z³ = 1 + i + i³ + i⁵/√(2),

reemplazas las potencias de la unidad imaginaria en los dos últimos términos (recuerda: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1, i⁵ = i⁴*i¹ = 1*i = i), y queda:

z³ = 1 + i - i + i/√(2),

reduces términos semejantes, observa que tienes cancelaciones, y queda:

z³ = 1 + i/√(2) (1);

luego, plantea el módulo del número complejo del segundo miembro: |1 + i/√(2)| = √( 1² + ( 1/√(2) )² ) = √(1+1/2) = √(3/2),

luego, observa que el número complejo del segundo miembro está representado por un punto en el primer cuadrante, y plantea la tangente de su argumento: tanθ = ( 1/√(2) )/1 = 1/√(2), compones con la función inversa de la tangente, y queda: θ ≅ 35,264° ≅ 0,1959π rad.

Luego, expresa al número complejo del segundo miembro de la ecuación señalada (1) en forma polar, y queda:

z³ = [ √(3/2) ]_0,1959π;

luego, haces pasaje de potencia como raíz, y queda:

z = ∛( [ √(3/2) ]_0,1959π );

luego, aplicas la Fórmula de De Moivre para las raíces, y queda:

z = [ ∛( √(3/2) ) ]_{(0,1959π+2kπ)/3} = [ ∛( √(3/2) ) ]_{0,0653π+(2/3)π}, con k = 0, 1, 2, que es la expresión general de las raíces cúbicas del número complejo z.

Luego, resuelves las raíces en la expresión del módulo, reemplazas los valores del índice en la expresión del argumento, y tienes:

z₀= [ ⁶√(3/2) ]_0,0653π,

z₁= [ ⁶√(3/2) ]_{0,0653π+(2/3)π} = [ ⁶√(3/2) ]_0,7320π,

z₂= [ ⁶√(3/2) ]_{0,0653π+(4/3)π} = [ ⁶√(3/2) ]_1,3986π.

Luego, plantea el producto entre las tres raíces:

z₀ * z₁ * z₂ =

= [ ⁶√(3/2) ]_0,0653π * [ ⁶√(3/2) ]_{0,0653π+(2/3)π} * [ ⁶√(3/2) ]_{0,0653π+(4/3)π} =

resuelves el producto (recuerda que se multiplican los módulos y se suman los argumentos), y queda:

= [ ( ⁶√(3/2) )³ ]_{0,0653π+0,0653π+(2/3)π+0,0653π+(4/3)π} =

simplificas índice con exponente en la expresión del módulo, reduces términos semejantes en la expresión del argumento, y queda.

= [ √(3/2) ]_{3*0,0653π+2π} =

resuelves el producto y restas un giro (2π) en el argumento, y queda:

= [ √(3/2) ]_0,1959π = 

= z³ =

= 1 + i/√(2).

Espero haberte ayudado.

Cuando dices: aplicas la Fórmula de De Moivre para las raíces, y queda:

z = [ ∛( √(3/2) ) ](0,1959π+2kπ)/3  <-- de donde sale este 3?
Gracias.

Si haces el dominio, ves que está definida en (0,pi), no tiene discontinuidades.

Si haces la primera derivada y la igualas a cero, obtienes que los puntos críticos son x=pi/4 , x=(7pi)/4; sólo nos interesa x= pi/4 , porque (7pi)/4 > pi y está fuera de nuestro intervalo de interés.

Por ahora tenemos un candidato a máximo/mínimo, veamos si se satisface la condición de máximo que exige el enunciado en algún punto de este intervalo, para ello tendremos que pasar de f´(x)> 0 en (0, pi/4) a f´(x) < 0 en (pi/4,pi) ; lo comprobamos:

f´(x)= -csc²x+√2 *cscx*cotx

f´(0.4)= 1.995

f´(pi/4≈ 0.78)=0

f´(2)= -1.91

Luego, la funcion y=cotx -√2 *cscx tiene un maximo absoluto en el intervalo 0 < x < pi:

el valor de equis es pi/4 y el valor de y=cot(pi/4)-√2csc(pi/4)= -1 

MÁXIMO(pi/4,-1)    

disculpame, puedes decirme como hallaste la derivada de los puntos criticos, es que eso no lo entendi, porfavor ayudameee 

Si lees bien lo que te escribí:

"Si haces la primera derivada"

y=cotx -√2 *cscx

((Recuerda que la derivada de cotgx es -csc²x , también que la derivada de cscx es -cotgx*cscx))

y´= -csc2x+√2 *cscx*cotx

"Y la igualas a cero obtienes el/los punto/s crítico/s"

 -csc2x+√2 *cscx*cotx=0   --------->  x= pi/4 + 2pi*N  x= (7pi)/4 + 2pi*N     --------Descartamos la que está fuera de nuestro intervalo---->  x= pi/4 + 2pi*N

Vamos con una opción para determinar los puntos críticos.

Expresas a la cosecante y a la cotangente en función del seno y del coseno, y tienes:

-1/sen²x + √(2)*(1/senx)*(cosx/senx) = 0,

reduces la expresión del segundo término, y queda:

-1/sen²x + √(2)*cosx/sen²x = 0,

multiplicas por sen²x en todos los términos de la ecuación (observa que senx es distinto de cero en el dominio que indica el enunciado), y queda:

-1 + √(2)*cosx = 0,

haces pasaje de término, y luego haces pasaje de factor como divisor, y queda:

cosx = 1/√(2),

compones con la función inversa del coseno en ambos miembros, y tienes dos opciones:

x = π/4 (en el primer cuadrante, que si pertenece al dominio),

x = 7π/4 (en el cuarto cuadrante, que no pertenece al dominio).

Espero haberte ayudado.

Gracias a los dos, me han ayudado muchisimo.

señor, muchisimas gracias! no se imagina la sonrisa que tengo al saber que lo hice bien

Correcto, es 3/4

lim (x^2-25)/(x^2-5x) = lim (x+5)(x-5)/x(x-5) =lim (x+5)/x =(5+5)/5 =2

lim x→5  X2 -25 / X2 -5X =

lim x→5  ((x+5)(x-5)) / (x(x-5)) =

lim x→5  ((x+5)(x-5)) / (x(x-5)) =

lim x→5  (x+5)/x =

(5+5)/5 =

2

Bien.

-96

Te ayudo con la justificación de la respuesta.

Observa que no tienes una progresión aritmética, ya que la diferencia entre un elemento y su anterior no es la misma para todos los elementos.

Observa que si tienes una progresión geométrica, cuyo primer elemento es a₁ = 3, y cuya razón es q = -2,

ya que la división entre cada elemento, a partir del segundo, y su anterior es la misma para todos los elementos:

a₁ = 3,

a₂ = 3(-2) = -6,

a₃ = -6*(-2) = 12,

a₄ = 12*(-2) = -24,

a₅ = -24*(-2) = 48,

a₆ = 48*(-2) = -96.

Luego, recuerda la expresión general para un elemento de una progresión geométrica:

a_n = a₁*q^n-1, con n ∈ N y n ≥ 1;

luego, reemplazas los valores del primer elemento y de la razón, y queda:

a_n = 3*(-2)^n-1, 

luego, reemplazas el número de orden del sexto elemento (n = 6), y tienes:

a₆ = 3*(-2)^6-1 = 3*(-2)⁵ = 3*(-32) = -96.

Espero haberte ayudado.

2/9

multiplicar por tres