lim(x→∞) (√(x²-x)-√(x²+4))=

lim(x→∞) (√(x²-x)-√(x²+4))*(√(x²-x)+√(x²+4))/ (√(x²-x)+√(x²+4))=

lim(x→∞) ((x²-x)-(x²+4))/ (√(x²-x)+√(x²+4))=

lim(x→∞) (x²-x-x²-4)/ (√(x²-x)+√(x²+4))=

lim(x→∞) (-x-4)/ (√(x²-x)+√(x²+4))=

lim(x→∞) (-x/x -4/x)/ (√(x²/x² -x/x²)+√(x²/x² +4/x²))=

lim(x→∞) (-1 -4/x)/ (√(1 -1/x)+√(1 +4/x²))=

(-1 -4/∞)/ (√(1 -1/∞)+√(1 +4/∞²))=

(-1 -0)/ (√(1 -0)+√(1 +0))=

-1/2

Observa que tienes que estudiar un sistema de tres ecuaciones lineales y de primer grado, con tres incógnitas.

Luego, comienza por plantear el determinante de la matriz del sistema:

|A| =

1   2   a

1   3   a

1   1   0 = (0+a+2a) - (3a+a+0) = 3a - 4a = -a.

Luego, tienes dos opciones:

1°)

|A| ≠ 0, sustituyes y queda:

-a ≠ 0, multiplicas en ambos miembros de la igualdad negada por -1, y queda:

a ≠ 0, y para este valor, tienes que el sistema es compatible determinado, y admite solución única.

2°)

|A| = 0, sustituyes y queda:

-a = 0, multiplicas en ambos miembros de la igualdad negada por -1, y queda:

a = 0, luego reemplazas en el sistema de ecuaciones, cancelas términos nulos, y queda:

x₁ + 2x₂ = b₁

x₁ + 3x₂ = b₂

x₁ +  x₂ = b₃,

a la segunda y a la tercera ecuación le restas la primera, y queda:

x₁ + 2x₂ = b₁

x₂ = b₂ - b₁

-x₂ = b₃ - b₁,

a la segunda ecuación le sumas la tercera, y queda:

x₁ + 2x₂ = b₁

0 = b₂ + b₃ - 2b₁ (1),

luego, tienes dos opciones:

a)

b₂ + b₃ - 2b₁ = 0, y para esta condición tienes que el sistema es compatible determinado (observa que la igualdad señalada (1) queda como identidad verdadera),

y admite infinitas soluciones;

b)

b₂ + b₃ - 2b₁ ≠ 0, y para esta condición tienes que el sistema es incompatible, (observa que la igualdad señalada (1) queda como identidad falsa), y no tiene solución.

Espero haberte ayudado.

Claro, pero estaría bien entonces dejarlo señalado sin aclarar "valores exactos" para b1, b2 y b3 ?

Si, Juli. Tal como dices, dejas expresada la relación entre los valores.

1)

Tienes las dimensiones de la carga, cuyo ancho es: a = 2 m, su largo es: b = 2*(2 + x) = 4 + 2x, y su altura es: c = 2 m.

Luego, tienes que cubrir con lona:

"techo", cuya superficie es: a*b = 2*(4 + 2x) = 8 + 4x (en m²);

"dos paredes laterales", cuya superficie total es: 2*b*c = 2*(4 + 2x)*2 = (8 + 4x)*2 = 16 + 8x (en m²);

"dos paredes, una de frente y otra de fondo", cuya superficie total es: 2*a*c = 2*2*2 = 8 m².

a)

Sumas las tres expresiones de las superficies, y queda:

f(x) = 8 + 4x +16 + 8x + 8, reduces términos semejantes, y queda:

f(x) = 12x + 32 (en m²).

b)

Si x = 4 m, evalúas la expresión remarcada, y queda:

f(4) = 12(4) + 32 = 48 + 32 = 80 m², que es la superficie de la lona que cubre la carga.

2)

ienes las dimensiones de la carga, cuyo ancho es: a = 2 m, su largo es: b = 2 + x, y su altura es: c = 2*2 = 4 m.

Luego, tienes que cubrir con lona:

"techo", cuya superficie es: a*b = 2*(2 + x) = 4 + 2x (en m²);

"dos paredes laterales", cuya superficie total es: 2*b*c = 2*(2 + x)*4 = (4 + 2x)*4 = 16 + 8x (en m²);

"dos paredes, una de frente y otra de fondo", cuya superficie total es: 2*a*c = 2*2*4 = 16 m².

a)

Sumas las tres expresiones de las superficies, y queda:

g(x) = 4 + 2x + 16 + 8x + 16, reduces términos semejantes, y queda:

g(x) = 10x + 36 (en m²).

b)

Si x = 4 m, evalúas la expresión remarcada, y queda:

g(4) = 10(4) + 36 = 40 + 36 = 76 m², que es la superficie de la lona que cubre la carga.

Luego, puedes concluir que en el segundo caso es el que hace necesaria una lona con menor superficie.

Espero haberte ayudado.

¿cómo deduces ese cambio de variable?

Gracias

Por la información que allí dan , los límites de integración van  de 0 a 2 y de 0 a 1 , la manera como pasar de del primero al segundo es duplicando la variable , además brindan información sobre f(2x) , así que ese cambio está " gritado "

3x + 4y= -2  ------>  Despejas la x-------> 3x= -2-4y ---->  x=(-2-4y)/3

4x+ 3y= 2  ------>  Sustituyes el valor de x obtenido anteriormente por la "x"------->  4((-2-4y)/3)+3y= 2

4((-2-4y)/3)+3y= 2   -----> (-8/3)-(16/3)y+3y= 2 ---------->  (-7/3)y=14/3  ----->  y= -2

3x + 4y= -2  ------->  3x + 4*(-2)= -2  ------> x=2