El 23 si tu valor de a debe ser -1 para que te salga 6 positivo, si te fijas en tu tabulación y=0 cuando x=0 o x=6, luego todo esta bien. El 24 esta bien. El 25...usa tu punto (0;1) es decir para hallar C en esta curva y=-x^(1/2)+C, y=0;x=1, entonces 0=-1^(1/2)+C resolviendo queda que C=1, entonces tu curva buscada es y=-x^(1/2)+1....Obs: pongo "x" a la medio en vez de raíz, pero es igual.

1)

Continuidad en x = -3:

a)

f(-3) = 3A(-3)-7B = -9A-7B;

b)

Lím(x→-3-) f(X) = Lím(X→-3-) (3X+6A) = 3(-3)+6A = -9+6A,

Lím(x→-3+) f(X) = Lím(X→-3+) (3AX-7B) = 3A(-3)-7B = -9A-7B,

luego, tienes para la existencia del límite que los límites laterales son iguales, por lo que tienes la ecuación:

-9+6A = -9A-7B, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda la ecuación: 15A + 7B = 9 (1).

2)

Continuidad en x = 3:

d)

f(3) = 3A(3)-7B = 9A-7B;

e)

Lím(x→3-) f(X) = Lím(X→3-) (3AX-7B) = 3A(3)-7B = 9A-7B,

Lím(x→-3+) f(X) = Lím(X→-3+) (3X+6A) = 3-12B,

luego, tienes para la existencia del límite que los límites laterales son iguales, por lo que tienes la ecuación:

9A-7B = 3-12B, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda la ecuación: 9A + 5B = 3 (2).

Luego, con las ecuaciones señaladas (1) (2) tienes el sistema:

15A + 7B = 9

 9A + 5B = 3,

luego, resuelves el sistema (te dejo la tarea), y queda la solución: A = 2, B = -3.

Luego, sustituyes en la expresión de la función, y queda:

f(x) =

3X + 12                si x < -3

6X + 21                si -3 ≤ X ≤ 3

X + 36                  si X > 3.

Espero haberte ayudado.

Tienes las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta R:

x = λ

y = 1 - λ

z = 3, 

con λ ∈ R.

Luego, designa al parámetro de la recta S con μ, igualas cada miembro de las ecuaciones cartesianas simétricas (o continuas) al parámetro, despejas, y quedan las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta S:

x = 1 + μ

y = μ

z = 3 + μ, 

con μ ∈ R.

a)

Igualas coordenada a coordenada, y queda el sistema:

λ = 1 + μ

1 - λ = μ

3 = 3 + μ, de aquí despejas: 0 = μ,

luego, reemplazas en las demás ecuaciones, y queda:

λ = 1

1 - λ = 0,

y observa que el valor remarcado verifica la última ecuación;

luego, reemplazas los valores de los parámetros en sus ecuaciones correspondientes y obtienes el punto: A(1,0,3) que es el punto de intersección entre las rectas.

b)

Puedes plantear que el punto A(1,0,3) pertenece al plano ∏ que contiene a las rectas R y S, 

y que un vector normal a dicho plano es el producto vectorial entre los vectores directores de las rectas, cuyas componentes son los coeficientes que multiplican a los parámetros en las ecuaciones cartesianas que tienes planteadas:

n = <1,-1,0> x <1,1,1> = <-1,-1,2>;

luego, con el vector normal, puedes plantear la ecuación vectorial del plano:

<-1,-1,2> • <x-1,y-0,z-3> = 0,

desarrollas el producto escalar, y queda:

-1(x-1) - 1(y-0) + 2(z-3) = 0,

distribuyes en todos los términos, reduces términos semejantes, ordenas términos, y queda:

- x - y + 2z - 5 = 0,

que es una ecuación cartesiana implícita del plano que contiene a las rectas R y S.

Espero haberte ayudado.

Tienes la expresión de la función:

f(x) = x³ + 3x + 4,

y la expresión de la función derivada es:

f ' (x) = 3x² + 3,

que al ser evaluada en el punto indicado en el enunciado queda:

f(-1) = 6, por lo que tienes que la pendiente de la recta tangente evaluada en el punto indicado es: m = 6;

luego, con la pendiente y las coordenadas del punto de contacto p(-1,0), tienes la ecuación de la recta tangente:

y = 6(x + 1), distribuyes, y queda: y = 6x + 6.

Luego, puedes plantear un sistema de ecuaciones con la ecuación de la gráfica de la función y la ecuación de la recta tangente:

y = x³ + 3x + 4

y = 6x + 6,

igualas expresiones, y queda:

x³ + 3x + 4 = 6x + 6,

haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

x³ - 3x - 2 = 0,

que es una ecuación polinómica cúbica, y observa que x = -1 es una de sus soluciones,

luego, plantea la división en ambos miembros por el binomio elemental: x+1 asociado a esta solución, y queda:

(x³ - 3x - 2) / (x + 1) = 0 / (x + 1),

divides en el primer miembro por medio de la Regla e Ruffini, resuelves el segundo miembro, y queda:

x² - x - 2 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

x = - 1, que al evaluar en las expresiones de la curva y de la recta tangente queda: y = 0, por lo que tienes el punto p(-1,0) que consigna tu enunciado;

x = 2, que al evaluar en las expresiones de la curva y de la recta tangente queda: y = 18, por lo que tienes el punto q(2,18), que es otro punto de intersección entre la curva y su recta tangente con punto de contacto p(-1,0).

Espero haberte ayudado.

Por lo que veo, está todo correcto, Héctor.

Está OK

Si la expresión de la función es:

f(x) = x^{(x^x)}, escribes a la base de la expresión como una expresión exponencial, y queda:

f(x) = (e^lnx)^{(x^x)} = e^{(x^x)*lnx}= e^u,

con u = (x^x)*lnx = e^lnx*lnx (1).

Luego, derivas la expresión remarcada, y queda:

f ' (x) = e^u * u ' (2).

Luego, planteamos la derivada de la función cuya expresión está señalada (1), y queda:

u ' = e^lnx*(1/x)*lnx + e^lnx*(1/x) = e^lnx*(1/x)*(lnx + 1) (3).

Luego, solo queda que sustituyas las expresiones señaladas (1) (3) en la expresión señalada (2),

y tienes la expresión de la función derivada que te pide el enunciado.

Espero haberte ayudado.