derivar por definicion
podrian ayudarme por favor
Plantea la expresión del incremento de la función:
Δf = f(x+h) - f(x) = (x+h)2ln(x+h) - x2lnx = (x2+2xh+h2)ln(x+h) - x2lnx = x2ln(x+h) + 2xhln(x+h) + h2ln(x+h) - x2lnx,
ordenas términos, agrupas términos, extraes factores comunes, y queda:
Δf = x2( ln(x+h) - lnx ) + h( 2xln(x+h) + hln(x+h) );
luego, divides en todos los términos de la ecuación por h, y queda:
Δf/h = x2( ln(x+h) - lnx )/h + ( 2xln(x+h) + hln(x+h) ),
luego, tomas límite que h tendiendo a cero en todos los términos de la ecuación, y queda:
f ' (x) = Lím(h→0) x2( ln(x+h) - lnx )/h + Lím(h→0) ( 2xln(x+h) + hln(x+h) ),
extraes factor común en el primer término, resuelves en el segundo término, y queda:
f ' (x) = x2Lím(h→0) ( ln(x+h) - lnx )/h + 2xlnx + 0,
luego, observa que la expresión remarcada corresponde a la expresión de la función derivada del logaritmo natural, sustituyes, y queda:
f ' (x) = x2(1/x) + 2xlnx + 0,
luego, simplificas en el primer término, cancelas el término nulo, y queda:
f ' (x) = x + 2xlnx.
Espero haberte ayudado.
