http://www.ommenlinea.org/wp-content/tzaloa/articulos/artic_1_3.pdf

Pon foto del enunciado original, por favor.

Tienes la proposición:

P(n): n³ ≥ n² + 2, ∀n ∈ N, n ≥ 2.

1°)

Probamos para el primer elemento (n = 2):

P(2): 2³ ≥ 2² + 2, resuelves en ambos miembros y queda: 8 ≥ 6, que es una desigualdad Verdadera.

2°)

P(h): h³ ≥ h² + 2, ∀h ∈ N, h ≥ 2 (Hipótesis Inductiva, que se acepta como Verdadera).

3°)

P(h+1): (h+1)³ ≥ (h+1)² + 2, ∀n ∈ N, n ≥ 2 (Tesis Inductiva, que debe ser demostrada).

4°)

Demostración:

P(h+1): (h+1)³ = h³ + 3h² + 3h + 1 ≥

aplicas la Hipótesis Inductiva, y queda:

≥ h² + 2 + 3h² + 3h + 1 =

sumas y restas 2h, sumas y restas 1, ordenas términos, agrupas términos, y queda:

= (h² + 2h + 1) + 2 + (3h² + 3h + 1 - 2h - 1) =

factorizas el trinomio cuadrado perfecto, reduces términos semejantes en el segundo agrupamiento (observa que tienes cancelaciones, y queda:

= (h + 1)² + 2 + (3h² + 3h) =

extraes factores comunes en el agrupamieto, y queda:

= (h + 1)² + 2 + 3h(h + 1) ≥

restas 3h(h + 2) (observa que esta expresión es positiva, por ser producto de tres factores naturales), y queda:

≥ (h + 1)² + 2 + 3h(h + 1) - 3h(h + 1) =

= (h + 1)² + 2;

luego, por la cadena de igualdades y desigualdades, tienes que la Tesis Inductiva es Verdadera.

Espero haberte ayudado.

Gracias, César.

He rectificado:

Ahora va completo:

1)

Tienes en tu segundo término: (5/2)*(6/5) = (5*6)/(2*5) = 30/10 = simplificas por 10 = 3/1;

luego reemplazas, y la expresión queda:

2/3 + 3/1 + 1/3 = multiplicas por 3 al numerador y al denominador del segundo término, y queda:

= 2/3 + 9/3 + 1/3 = (2 + 9 + 1)/3 = 12/3 = simplificas por 3 = 4/1 = 4.

2)

Tienes en el agrupamiento:

5/6 - 2/3 = multiplicas por 2 al numerador y al denominador del segundo término = 5/6 - 4/6 = (5 - 4)/6 = 1/6,

luego reemplazas, y la expresión queda:

(3/2) : (5/6 - 2/3) = (3/2) : (1/6) = (3/2)*(6/1) = (3*6)/(2*1) = 18/2 = simplificas por 2 = 9/1 = 9.

Espero haberte ayudado.

Puedes plantear la matriz incógnita:

X = 

x    y

z    w.

Luego, plantea los productos:

a)

A*X =

1   1      x   y

0   1  *  z   w

resuelves y queda:

A*X =

(x+z)   (y+w)

  z           w      

b)

X*A =

x   y       1   1

z   w  *  0   1

resuelves, y queda:

X*A =

x   (x+y)

z   (z+w)

Luego, igualas elemento a elemento en las matrices remarcadas, y tienes el sistema de ecuaciones:

x + z = x, aquí haces pasaje de término, y queda: z = 0

y + w = x + y, aquí haces pasaje de término, y queda: w = x

z = z, aquí haces pasaje de término, y queda: 0 = 0, que es una identidad verdadera

w = z + w, aquí haces pasaje de término, y queda: z = 0;

por lo tanto, tienes que el sistema de ecuaciones admite infinitas soluciones, que quedan expresadas:

x ∈ R,

y ∈ R,

z = 0,

w = x.

Luego, la matriz incógnita queda:

X = 

x   y       x   y

z   w  =  0   x, con x ∈ R e y ∈ R.

Espero haberte ayudado.

And Good Morning from Spain.

thank you so much sir

Vamos con una orientación para la segunda integral.

Aplica la sustitución (cambio de variable): w = lnx, de donde tienes: dw = dx/x, luego sustituyes, y la integral queda:

I = ∫ ( 1 / √(4-9*w²) )*dw,

luego, tienes el argumento de la raíz cuadrada:

4 - 9*w² = 4*(1 - 9*w²/4) = 4*( 1 - (3*w/2)² ), planteas su raíz cuadrada, y queda: √( 4*( 1 - (3*w/2)² ) ) = 2*√( 1 - (3*w/2)² );

luego, sustituyes, y la integral queda:

I = (1/2) * ∫ ( 1 / √( 1 - (3*w/2)² ) )*dw,

luego, aplica la sustitución (cambio de variable):

3*w/2 = p, de donde tienes: 3*dw/2 = dp, y también tienes: dw = (2/3)*dp, luego sustituyes, y la integral queda:

I = (1/2)*(2/3) *  ∫ ( 1 / √(1-p²) )*dp = resuelves = (1/3) * arcsen(p) + C,

luego sustituyes según el último cambio de variable, y queda:

I = (1/3) * arcsen(3*w/2) + C;

luego sustituyes según el primer cambio de variable, y queda:

I = (1/3) * arcsen(3*lnx/2) + C = aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia = (1/3) * arcsen( ln(x^3/2) ) + C.

Espero haberte ayudado.

Manda ejercicios con los que tengas dificultades y te ayudaremos encantados.

11)

Plantea la función "distancia cuadrática" entre un punto genérico P(x,y,z) y el punto A(2,3,4):

f(x,y,z) = (x-2)² + (y-3)² + (z-4)²;

observa que es una función diferenciable en R³, cuyas derivada parciales quedan:

f_x = 2*(x-2) = 2*x - 4,

f_y = 2*(y-3) = 2*y - 6,

f_z = 2*(z-4) = 2*z - 8.

Luego, observa que la esfera es una superficie de nivel de la función diferenciable en R³ cuya expresión es:

g(x,y,z) = x² + y² + z²,

cuyas derivadas parciales quedan:

g_x = 2*x,

g_y = 2*y,

g_z = 2*z.

Luego, plantea el sistema de ecuaciones de Lagrange (indicamos con p al multiplicador):

2*x - 4 = p*2*x

2*y - 6 = p*2*y

2*z - 8 = p*2*z

x² + y² + z² = 9,

con p ∈ R.

divides por 2 en todos los términos de las tres primeras ecuaciones, y el sistema queda:

x - 2 = p*x

y - 3 = p*y

z - 4 = p*z

x² + y² + z² = 9,

con p ∈ R.

Observa que tanto x, como y, como z deben ser distintos de cero, porque si alguna de ellas es igual a cero no se verifica alguna de las tres primeras ecuaciones;

por lo tanto, puedes dividir por x en todos los términos de la primera ecuación, por y en todos los términos de la segunda ecuación, y por z en todos los términos de la tercera

ecuación, y el sistema queda:

1 - 2/x = p (1)

1 - 3/y = p

1 - 4/z = p

x² + y² + z² = 9,

con p ∈ R.

Luego, sustituyes la expresión señalada (1) en las demás ecuaciones, haces pasajes de términos en las dos primeras (observa que tienes cancelaciones, y queda:

2/x = 3/y, de aquí despejas: y = 3x/2 (2)

2/x = 4/z, de aquí despejas: z = 2x (3)

x² + y² + z² = 9,

con p ∈ R.

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (2) (3) en la última ecuación, resuelves en cada término, y queda:

x² + 9x²/4 + 4x² = 9, reduces términos semejantes, y queda:

29x²/4 = 9, de aquí despejas:

x² = 36/29, haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos opciones:

a)

x = -6/√(29), reemplazas en las ecuaciones señaladas (2) (3) (1) y queda: y = -9/√(29), z = -12/√(29), p = 1 + √(29)/3,

que son las coordenadas del primer punto crítico, con su multiplicador;

b)

x = 6/√(29), reemplazas en las ecuaciones señaladas (2) (3) (1) y queda: y = 9/√(29), z = 12/√(29), p = 1 - √(29)/3,

que son las coordenadas del segundo punto crítico, con su multiplicador.

Luego, queda que evalúes la expresión de la función para estos dos puntos críticos para identificar en cuál de ellos la función toma valor Máximo Absoluto, y en cuál de ellos

toma valor Mínimo Absoluto.

Espero haberte ayudado.

14)

Considera que el origen de coordenadas es uno de los vértices de la base, y considera que la caja tiene altura z, por lo que tienes para las coordenadas del vértice P, opuesto por la diagonal al origen de coordenadas: P(x,y,z). y observa que este punto pertenece al plano cuya ecuación tienes en el enunciado. Observa que con este planteo, tienes que las coordenadas corresponden al ancho, al largo y a la altura de la caja, por lo que tienes que las tres coordenadas toman valores estrictamente positivos.

Luego, plantea la expresión del volumen de la caja:

f(x,y,z) = x*y*z,

observa que es la expresión de una función diferenciable en R³, cuyas derivada parciales quedan expresadas:

f_x = y*z

f_y = x*z

f_z = x*y.

Luego, observa que el plano es una superficie de nivel de la función diferenciable en R³ cuya expresión es:

g(x,y,z) = 2x + 3y + 4z, cuyas derivadas parciales quedan expresadas:

g_x = 2

g_y = 3

g_z = 4.

Luego, plantea el Sistema de Ecuaciones de Lagrange (observa que indicamos con p al multiplicador):

y*z = 2*p, de aquí despejas: y*z/2 = p (1)

x*z = 3*p

x*y = 4*p

2x + 3y + 4z = 12

p ∈ R.

Luego, sustituyes la expresión señalada (1) en las demás ecuaciones, y queda:

x*z = 3*y*z/2, aquí divides en ambos miembros por z (recuerda que toma valores estrictamente positivos), y queda: x = 3*y/2 (2)

x*y = 2*y*z

2x + 3y + 4z = 12

p ∈ R.

Luego, sustituyes la expresión señalada (2) en las demás ecuaciones, y queda:

3*y²/2 = 2*y*z, aquí haces pasajes de factores como divisores (recuerda que y toma valores estrictamente positivos), y queda: 3*y/4 = z (3)

6y + 4z = 12

Luego, sustituyes la expresión señalada (3) en la última ecuación, y queda:

9y = 12, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: y = 4/3;

luego, sustituyes en las ecuaciones señaladas (3) (2) (1), y queda: z = 1, x = 2, p = 2/3,

que son las coordenadas del punto crítico con su multiplicador.

Luego, evalúas en la función, y queda:

V = 2*(4/3)*1 = 8/3, que es el valor del volumen máximo.

Puedes verificar que se trata de un valor máximo de la función, evaluándola en un punto testigo perteneciente al plano, por ejemplo: T(5/2,1,1):

V(5/2,1,1) = (5/2)*1*1 = 5/2 < 8/3, por lo que tienes que la función, para el punto testigo, toma valor menor que en el punto crítico.

Espero haberte ayudado.

¿Te importa poner foto del enunciado original, Moroni?

hola buenas, es lo mejor que he podido, ya que lo anoté desde el pizarrón. espero que sirva  

me ha faltado igualar la expresion anterior a 5