Observa que el espacio vectorial R², cuyos elementos son vectores con dos componentes reales, tiene dimensión 2, por lo que tienes que el cardinal de su base (cantidad de elementos) debe ser 2.

Puedes justificar por medio de reducción al absurdo:

Sea B = {<a,b>,<c,d>,<x,y>} una base de R², por lo tanto se cumple que sus tres elementos son distintos entre si, y son también linealmente independientes (supuesto absurdo).

Luego, plantea la "combinación lineal nula":

A<a,b> + B<c,d> + C<x,y> = <0,0>, en la que se debe cumplir: A = B = C = 0, porque los tres vectores son linealmente independientes.

Luego, efectúa los productos en cada término:

<Aa,Ab>+<Bc,Bd>+<Cx,Cy>  = <0,0>.

Luego, resuelve la suma en el primer miembro:

<Aa+Bc+Cx,Ab+Bd+Cy>= <0,0>.

Luego, por igualdad entre vectores, tienes el sistema de ecuaciones:

Aa + Bc + Cx = 0

Ab + Bd + Cy = 0.

Luego, observa que tienes un sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales, de primer grado con tres incógnitas, por lo que tienes que es compatible indeterminado, y admite infinitas soluciones, lo que contradice el supuesto absurdo, que requiere que la solución sea única: A = 0, B = 0, C = 0.

Espero haberte ayudado.

X=AB-A+A^2=AB-A+AA=A(B-I+A)

I es la identidad

Ahora, a restar y sumar matrices y después a multiplicar.

Muchas gracias por la resolución.

Con esto me doy cuenta de que mi planteamiento y respuesta son correctos. Sin embargo posteriormente nos preguntan lo siguiente.

¿Cual de estas posibles respuestas es la correcta? ¿Por qué?

El resto de preguntas ya las desarrollo yo mismo pero me decían que mi respuesta estaba mal (la misma que ya suya) y luego veo esto y no sabia que responder.

Muchas gracias.

Como el sistema es compatible determinado, las coordenadas obtenidas son únicas.

Si tenemos garantizado que L es una base, ya sabemos de antemano que las coordenadas son únicas.

A veces los solucionarios de los libros tienen erratas.

Muchas gracias, entiendo que es una errata y que la respuesta seria la E.

La función es continua por doquier, pues es el producto de dos funciones continuas (una función cuadrática y la función exponencial natural). No hay discontinuidades.

Tienes el argumento del límite:

f(x) = √(x²+x) - x,

multiplicas y divides por la expresión "conjugada" y queda:

f(x) = ( √(x²+x) - x )*( √(x²+x) + x ) / ( √(x²+x) + x ),

distribuyes en el numerador, observa que tienes cancelaciones de términos opuestos y que tienes simplificación de raíz con potencia, y queda:

f(x) = ( x²+x - x²) /  ( √(x²+x) + x ),

cancelas términos opuestos en el numerador, extraes factor común en el argumento de la raíz cuadrada, y queda:

f(x) = x / ( √( x²*(1 + 1/x) ) + x ),

distribuyes la raíz en el denominador, simplificas la raíz con la potencia en su primer factor (observa que el índice de la raíz es par, al igual que el exponente de la potencia),

y queda:

f(x) = x / ( |x|*√(1+1/x) + x ),

Luego, tienes dos opciones:

a)

x > 0, lo que corresponde a: |x| = x, y el límite queda:

Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) x / ( x*√(1+1/x) + x ) = extraes factor común en el denominador, y queda:

= Lím(x→+∞) x / ( x*(√(1+1/x) + 1) ) = simplificas = Lím(x→+∞) 1 / ( √(1+1/x) + 1) = resuelves = 1/(1+1) = 1/2.

b)

x < 0, lo que corresponde a: |x| = -x, y el límite queda:

Lím(x→-∞) f(x) = Lím(x→-∞) x / ( -x*√(1+1/x) + x ) = extraes factor común en el denominador, y queda:

= Lím(x→-∞) x / ( x*(-√(1+1/x) + 1) ) = simplificas = Lím(x→-∞) 1 / ( -√(1+1/x) + 1) = resuelves = +∞. (observa que el denominador tiende a cero desde valores positivos).

Espero haberte ayudado.

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)