Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Si tienes la expresión de la función cuyo dominio es R, y observa que la función es continua y derivable en todo su dominio:

f(x) = (2-x)*e^x,

luego, la expresión de su función derivada es:

f ' (x) = (1-x)*e^x.

Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo:

f ' (x) = 0, sustituyes y queda:

(1-x)*e^x = 0, haces pasaje del segundo factor como divisor (observa que ex toma valores estrictamente positivos), y queda:

1 - x = 0, haces pasaje de término, y queda:

1 = x, y la función toma el valor: y = f(1) = e.

Luego, tomas valores de prueba:

Para x = 0 tienes:

f ' (0) = 1 > 0, por lo que tienes que la función es creciente para este valor, y lo es también en el intervalo (-∞,1),

y la función toma el valor: y = f(0) = 2.

Para x = 2 tienes:

f ' (2) = -e² < 0, por lo que tienes que la función es decreciente para este valor, y lo es también en el intervalo (1,+∞),

y la función toma el valor: y = f(2) = 0.

Por lo tanto, tienes que la función presenta un máximo en x = 1, y el valor de la función para él es: f(1) = e.

Espero haberte ayudado.

Tienes toda la razón Antonio, el problema estaba que había representado en Geogebra con la derivada y no con la función.

En efecto, no hay puntos de inflexión. Pero si te fijas atentamente, la segunda derivada cambia de signo en x=3. En x<3  sale negativa y en x>3 sale positiva. Por tanto, en x=3 (donde hay una asíntota  vertical), la función cambia de curvatura.

el primero esta mal ni bien empezar. cuando es el limite tendiendo a infinito, de la division de 2 polinomios, si el grado del numerador es menos que el grado del denominador, el limite es 0.

sumado ya que en el segundo paso, te olvidaste de poner los limites, ese paso no te podes olvidar

Tienes la condición:

|g(x) - 2| ≤ 3(x-1)²,

despliegas la desigualdad (revisa tus apuntes de clase), y queda:

-3(x-1)² ≤ g(x) - 2 ≤ 3(x-1)²,

luego, tomas límite para x tendiendo a 1 en los tres miembros de la doble inecuación, y queda:

Lím(x→1) -3(x-1)² ≤  Lím(x→1)g(x) - 2 ≤ Lím(x→1) 3(x-1)²,

resuelves en el primer y en el tercer miembro, y queda:

0 ≤  Lím(x→1)(g(x) - 2) ≤ 0,

por lo tanto, concluyes:

Lím(x→1) (g(x) - 2) = 0.

Luego, aplicas la propiedad del límite de una resta de funciones (observa que el segundo término es constante), y queda:

Lím(x→1) g(x) - Lím(x→1) 2 = 0,

resuelves el segundo término, y queda:

Lím(x→1) g(x) - 2 = 0,

haces pasaje de término y queda:

Lím(x→1) g(x) = 2.

Espero haberte ayudado.

Vamos con un planteo alternativo.

Plantea la condición de raíz de la expresión:

f(x) = 0, sustituyes, y queda:

(-4x²-4x-1)/x - 5/(x²-5x) + 3x + 3 = 0, haces pasajes de términos, y queda:

(-4x²-4x-1)/x + 3x + 3 = 5/(x²-5x), factorizas el denominador en el segundo miembro, y queda:

(-4x²-4x-1)/x + 3x + 3 = 5/( x(x-5) ), observa que debe cumplirse: x ≠ 0 y x ≠ 5,

multiplicas por x en todos los términos de la ecuación, y queda:

-4x²- 4x - 1 + 3x² + 3x = 5/(x-5), reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:

-x² - x - 1 = 5/(x-5), haces pasaje de divisor como factor, y queda:

(x - 5)(-x² - x - 1) = 5, distribuyes en el primer miembro, y queda:

-x³ - x² - x + 5x² + 5x + 5 = 5,

reduces términos semejantes, haces pasaje de término (observa que tienes cancelaciones, y queda:
-x³  + 4x² + 4x = 0, extraes factor común -x, y queda:

-x(x² - 4x - 4) = 0, luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:

a)

- x = 0, multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda: x = 0, que no corresponde a este ejercicio;

b)

x² - 4x - 4 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

x₁ = 2-2√(2) ≅ -0,8284,

x₂ = 2+2√(2) ≅ 4,8284.

Luego, con los cuatro valores remarcados (los dos primeros que no pertenecen al dominio de la función, y los dos últimos que son raíces), tienes cuatro intervalos, en los que debes elegir un representante a fin de determinar el signo de la función en cada subintervalo:

1°)

( -∞ , 2-2√(2) ), representado por x = -1, al que corresponde: f(-1) = 1 - 5/6 - 3 + 3 = 1/6 > 0,

por lo que la función toma valores positivos en este subintervalo;

2°)

( 2-2√(2) , 0 ), representado por x = -1/2, al que le corresponde: f(-1/2) = 0 - 20/11 - 3/2 + 3 = -7/22 < 0,

por lo que la función toma valores negativos en este subintervalo;

3°)

( 0 , 2+2√(2) ), representado por x = 1, al que le corresponde: f(1) = -9 +5/4 + 3 + 3 = -7/4 < 0,

por lo que la función toma valores negativos en este subintervalo;

4°)

( 2+2√(2) , 5 ), representado por x = 4,9, al que le corresponde: f(4,9) ≅ 4,1 > 0,

por lo que la función toma valores positivos en este subintervalo;

5°)

( 5 , +∞ ), representado por x = 6, al que le corresponde: f(6) = -8 < 0,

por lo que la función toma valores negativos en este subintervalo.

Luego, tienes para los intervalos de positividad (P) y de negatividad (N) de la función:

P = ( -∞ , 2-2√(2) ) u ( 2+2√(2) , 5 ) ,

N = ( 2-2√(2) , 0 ) u ( 0 , 2+2√(2) ) u ( 5 , +∞ ).

Espero haberte ayudado.

Con una radiografía del enunciado original, el diagnóstico será más preciso.

Foto del enunciado original, por favor.

Puedes comenzar por derivar en ambos miembros, y observa que en el primer miembro de la ecuación debes aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

Derivas, y queda:

f( 1/(3x+1) )*(-3)/(3x+1)² = -2/(ax²) + a (1).

Luego, observa la condición que tienes en tu enunciado:

f(1/4) = 16/3 (2),

comparas los argumentos remarcados y tienes la ecuación:

1/(3x+1) = 1/4, de donde puedes despejar (te dejo la tarea): x = 1;

luego, sustituyes el valor remarcado en la ecuación señalada (1), resuelves agrupamientos y argumentos, y queda:

f(1/4)*(-3)/16 = -2/a² + a,

reemplazas el valor señalado (2) en el primer factor de la última ecuación, y queda:

(16/3)*(-3/16) = -2/a² + a,

resuelves el primer miembro, y queda:

-1 = -2/a² + a, 

haces pasaje de término, y queda:

-1 - a = -2/a²,

haces pasaje de divisor como factor, y queda:

a²*(-1-a) = -2,

distribuyes en el primer miembro, haces pasaje de término, y queda:

-a² - a³ + 2 = 0,

multiplicas por -1 en todos los términos de la ecuación, ordenas términos, y queda:

a³ + a² - 2 = 0,

factorizas por medio de la Regla de Ruffini (observa que 1 es raíz de la expresión polinómica), y queda:

(a-1)*(a²+2a+2) = 0,

luego, puedes verificar por medio de la fórmula de Baskara que la expresión polinómica cuadrática del segundo factor no tiene raíces reales,

luego, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

a - 1 = 0,

haces pasaje de término, y queda:

a = 1.

Espero haberte ayudado.