Comienza por derivar implícitamente con respecto a x:

4*(x² + y²)*( 2x + 2*y*y ' ) = 25*( 2*y*y ' - 2*x).

Luego, reemplazas las coordenadas del punto en estudio (1,3), y queda:

4*(1 + 9)*( 2 + 6*y ' ) = 25*( 6*y ' - 2 ), 

resuelves coeficientes, distribuyes, y queda:

80 + 240*y ' = 150*y ' - 50, 

haces pasajes de términos, y queda:

90*y ' = -130, 

haces pasaje de factor como divisor, y queda:

y ' = - 13/9, que es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,3).

Espero haberte ayudado.

Observa que la longitud de la base del triángulo queda expresada:

b = x - 2.

Observa que la altura del triángulo queda expresada:

h = f(x).

Luego, plantea la expresión del área del triángulo:

A = (1/2)*b*h,

sustituyes expresiones, y queda:

A = (1/2)*(x-2)*f(x).

Luego, plantea la expresión de la derivada primera de la función área (observa que debes aplicar la regla del producto):

A ' = (1/2)*f(x) + (1/2)*(x-2)*f ' (x).

Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

A ' = 0,

sustituyes la expresión de la derivada en el primer miembro, y queda:

(1/2)*f(x) + (1/2)*(x-2)*f ' (x) = 0,

multiplicas por 2 en todos los términos de la ecuación, y queda:

f(x) + (x - 2)*f ' (x) = 0 (1).

Luego, tienes la expresión de la función en tu enunciado:

f(x) = e^{-2*(x-2)^2},

luego, plantea la expresión de su función derivada:

f ' (x) = -4*(x-2)*e^{-2*(x-2)^2};

luego, sustituyes ambas expresiones en la ecuación señalada (1) y queda:

e^{-2*(x-2)^2} - 4*(x - 2)²*e^{-2*(x-2)^2} = 0;

divides en todos los términos de la ecuación por el factor exponencial (observa que es estrictamente positivo), y queda:

1 - 4*(x - 2)² = 0,

haces pasaje de término, y queda:

- 4*(x - 2)² = - 1,

haces pasaje de factor como divisor, y queda:

(x - 2)² = 1/4,

haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos opciones:

a)

x - 2 = -1/2, haces pasaje de término, y queda:

x = 3/2, que no pertenece al intervalo [2,5];

b)

x - 2 = 1/2, haces pasaje de término, y queda:

x = 5/2, que si pertenece al intervalo [2,5];

luego, evalúas en la expresión de la función, y queda:

f(5/2) = e^{-2*(1/2)^2} = e^-1/2;

luego, reemplazas valores en la expresión remarcada del área del triángulo, y queda:

A = (1/2)*(5/2 - 2)*e^-1/2 = (1/4)*e^-1/2.

Espero haberte ayudado.

Plantea la expresión del número complejo en forma cartesiana binómica: z = x + y*i (observa que designamos con x a la parte real, y con y a la parte imaginaria del número).

Plantea la expresión del número complejo conjugado: z_c = x - y*i.

a)

Plantea la suma del número con su conjugado:

z + z_c = x + y*i + x - y*i = reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones) = 2*x;

luego, con el primero y con el último miembro de la cadena de igualdades tienes la ecuación:

z + z_c = 2*x, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

(z + z_c)/2 = x = Re(z).

b)

Plantea la resta del número con su conjugado:

z - z_c = x + y*i - (x - y*i) = distribuyes el agrupamiento = x + y*i - x + y*i = reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones) = 2*y*i;

luego, con el primero y con el último miembro de la cadena de igualdades tienes la ecuación:

z - z_c = 2*y*i, haces pasaje de factores como divisores, y queda:

(z + z_c)/(2*i) = y = Im(z).

Espero haberte ayudado.

como 3 = log₆6³

entonces

3 - log₆(5x+1) = log₆6³- log₆(5x+1) = log₆ [6³-(5x+1)] = log₆ (6³-5x-1)

por lo tanto

log₆(x-1) = 3 - log₆(5x+1) => log₆(x-1) = log₆ (6³-5x-1) => x-1 = 6³-5x-1

y resolviendo la ecuación de primer grado

x-1 = 6³-5x-1 => x+5x = 6³-1+1 => 6x = 6³ => x= 6²

No Antonio, ¡cuidado con esas propiedades!

Observa que tienes la expresión:

a_n = (-1)ⁿ/n².

Luego, plantea su valor absoluto:

A_n = |a_n| = |(-1)ⁿ/n²| = 1/n².

Luego, plantea el límite de esta última expresión:

Lím(n→∞) A_n = Lím(n→∞) (1/n²) = 0,

por lo que puedes concluir:

Lím(n→∞) a_n = Lím(n→∞) ( (-1)ⁿ/n²) = 0.

Recuerda que si el límite para n tendiendo a infinito del valor absoluto de la expresión es igual a cero, entonces el límite de la expresión también lo es.

Espero haberte ayudado.

Hazle una foto de mejor calidad a la f para que podamos ayudarte.

Tienes la ecuación cartesiana implícita de la recta dato:

x - 3y + 8 = 0, haces pasajes de términos y queda:

- 3y = - x - 8, divides en todos los términos de la ecuación por -3 y queda:

y = (1/3)*x + 8/3, que es la ecuación cartesiana explícita de la recta dato.

Luego, observa que su pendiente es: m = 1/3 y, por la condición de perpendicularidad, tienes que la pendiente de la recta buscada es: m₁ = -1/(1/3) = - 3,

luego, con la ordenada al origen que tienes en el enunciado, tienes que la ecuación cartesiana explícita de la recta buscada es:

y = - 3x - 3.

Espero haberte ayudado.

Mira la pregunta de ani01  https://www.unicoos.com/foro/matematicas/page:3 , ahí la tienes contestada.

hola angel, gracias por ayudarla :)

En los vídeos, específicamente en la parte de "material adicional".

Puedes plantear la ecuación cartesiana explícita de la recta:

y = a*x + b.

Luego, para determinar su abscisa al origen, reemplazas y = 0 en la ecuación, y queda:

0 = a*x + b, haces pasaje de término, y queda:

-a*x = b, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

x = - b/a, por lo que la recta corta al eje coordenado OX en el punto: A(-b/a,0), y observa que -b/a debe ser estrictamente positivo.

Luego, para determinar su ordenada al origen, reemplazas x = 0 en la ecuación, y queda:

y = a*0 + b, resuelves y queda:

y = b, por lo que la recta corta al eje coordenado OY en el punto: B(0,b), y observa que b debe ser estrictamente positivo.

Luego, plantea para el área del triángulo rectángulo del primer cuadrante, con vértices AOB, con ángulo recto en el vértice O(0,0):

A = (1/2)*(-b/a)*b, resuelves productos y queda:

A = - (1/2)*b²/a. (1).

Luego, como el punto (5,5) pertenece a la recta, reemplazas sus coordenadas en su ecuación, y queda:

5 = a*5 + b, haces pasaje de término, y queda:

5 - 5*a = b, extraes factor común, y queda:

5*(1 - a) = b (2).

Luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:

A = - (1/2)*( 5*(1-a)/a )²/a, desarrollas el argumento del cuadrado, y queda:

A = - (1/2)*(25*(1 - 2*a + a²)/a), resuelves factores, distribuyes el divisor, y queda:

A = - (25/2)*( 1/a - 2 + a), que es la expresión del área del triángulo en función de la pendiente de la recta.

Luego, plantea la expresión de la función derivada:

A ' = - (25/2)*(-1/a² + 1) (3), 

luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo:

A ' = 0, sustituyes la expresión señalada (3) y queda:

- (25/2)*(-1/a² + 1) = 0, multiplicas por - 25/2 en ambos miembros de la ecuación, y queda:

-1/a² +1 = 0, haces pasaje de término, y queda:

1 = 1/a², haces pasaje de divisor como factor, y queda:

a² = 1, haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos opciones:

1°)

a = -1, que es la pendiente de la recta, luego reemplazas en la ecuación señalada (2) y queda:

10 = b, que es la ordenada al origen, y corresponde al primer cuadrante,

luego, la abscisa al origen queda:

- b/a = - 10/(- 1) = 10, que corresponde al primer cuadrante,

por lo que la ecuación de la recta queda:

y = - x + 10.

2°)

a = 1, que es la pendiente de la recta, luego reemplazas en la ecuación señalada (2) y queda:

0 = b, que es la ordenada al origen,

luego la abscisa al origen queda:

- b/a = - 0/1 = 0,

por lo que la ecuación de la recta queda:

y = x, que no corresponde a este problema, porque no determina un triángulo con los ejes coordenados.

Espero haberte ayudado.