¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Tienes la sumatoria:

∑(n=1,k) (1/7ⁿ) = ∑(n=1,k) (1/7)ⁿ =

observa que es una suma geométrica cuya razón es q = 1/7 < 1, por lo que su resultado es:

= (1/7)*(1 - (1/7)^k)/(1 - 1/7) =

resuelves el divisor y queda:

= (1/7)*(1 - (1/7)^k)/(6/7) =

resuelves la división entre el primer factor y el divisor, y queda:

= (1/6)*(1 - (1/7)^k) =

distribuyes la potencia en el segundo término del segundo factor y queda:

= (1/6)*( (7^k - 1)/7^k ) =

resuelves el producto de expresiones fraccionarias y queda:

= (1*( (7^k - 1) ) / (6*7^k) =

resuelves el producto en el numerador y queda:

= (7^k - 1) / (6*7^k) = P/Q,

y tienes que los números enteros que componen la fracción resultado son:

P = 7^k - 1,

Q = 6*7^k.

Espero haberte ayudado.

Hola antonio silvio , muchisimas gracias por tomarte el tiempo en ayudarme pero resulta que el n es factorial es lo que me mata , no se como hacerlo con factoriales ?  este es el problema

Casi está perfecta Andrés:

(1+y²)^1/2=Cx²

Debes corregir en el segundo miembro en la anteúltima línea de tu desarrollo a fin de corregir el procedimiento, que queda:

(1/2)*ln(1+y²) = ln(|x|) + c, multiplicas por 2 en todos los términos de la ecuación y queda:

ln(1+y²) = 2*ln(|x|) + 2*c, aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia en el primer término del segundo miembro, renombras a la constante arbitraria 2*c y queda:

ln(1+y²) = ln(x²) + ln(C), aplicas la propiedad del logaritmo de un producto en el segundo miembro y queda:

ln(1+y²) = ln(C*x²), compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural y queda:

1+y² = C*x², que es una solución general implícita de la ecuación diferencial de tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Tienes la ecuación cartesiana implícita de la circunferencia:

x² + y² - 6x - 4y + 12 = 0 (1),

Puedes plantear la ecuación cartesiana de una recta que pasa por el punto de coordenadas A(0,1):

y = mx + 1 (2).

Luego sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1) y queda:

x² + (mx + 1)² - 6x - 4(mx + 1) + 12 = 0, desarrollas el segundo término y el cuarto término, y queda:

x² + m²x² + 2mx + 1 - 6x - 4mx - 4 + 12 = 0, agrupas términos semejantes según x, y queda:

(1 + m²)x² - 2(m + 3)x + 9 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática para la incógnita x, cuyas soluciones quedan:

x = ( 2(m + 3) ± √(4(m+3)² - 4*(1 + m²)*9) ) / [2(1 + m²)].

Luego plantea la condición para que tenga única solución (observa que sería la abscisa del punto de contacto entre la circunferencia y la recta tangente):

4(m+3)² - 4*(1 + m²)*9 = 0, divides por 4 en todos los términos de la ecuación, ordenas factores en el segundo término, y queda:

(m + 3)² - 9*(1 + m²) = 0, desarrollas el binomios elevado al cuadrado, distribuyes el segundo término, y queda:

m² + 6m + 9 - 9 - 9m² = 0, reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones, ordenas términos, y queda:

- 8m² + 6m = 0, extraes factor común y queda:

- 2m*(4m - 3) = 0, luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:

a)

- 2m = 0, haces pasaje de factor como divisor y queda:

m = 0, que conduce a la recta cuya ecuación es: y = 0x + 1, cancelas el término nulo y queda: y = 1;

b)

4m - 3 = 0, haces pasaje de término y queda: 4m = 3, haces pasaje de factor como divisor y queda: 

m = 3/4, que conduce a la recta cuya ecuación es: y = (3/4)x + 1.

Espero haberte ayudado.

Puedes designar a las coordenadas del centro de la circunferencia: C(h,k),

y como tienes que pertenece a la recta, reemplazas sus coordenadas en su ecuación y queda:

8h - 4k + 9 = 0 (1).

Luego, plantea la ecuación cartesiana canónica de la circunferencia (observa que designamos al radio con R):

(x - h)² + (y - k)² = R²,

luego, como tienes dos puntos que pertenecen a la circunferencia, reemplazas sus coordenadas en su ecuación y quedan dos ecuaciones:

(1 - h)² + (- 2 - k)² = R²  (2),

(- 2 - h)² + (2 - k)² = R²  (3),

luego, con las ecuaciones señaladas (1) (2) (3) tienes el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

8h - 4k + 9 = 0

(1 - h)² + (- 2 - k)² = R²  

(- 2 - h)² + (2 - k)² = R²,

igualas los primeros miembros de las dos últimas ecuaciones y queda;

8h - 4k + 9 = 0

(1 - h)² + (- 2 - k)² = (- 2 - h)² + (2 - k)²,

desarrollas los binomios elevados al cuadrado en la segunda ecuación y el sistema queda:

8h - 4k + 9 = 0

1 - 2h + h² + 4 + 4k + k² = 4 + 4h + h² + 4 - 4k + k², 

haces pasajes de términos en la segunda ecuación, reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), y el sistema queda:

8h - 4k + 9 = 0

- 6h + 8k - 3 = 0, aquí haces pasajes de términos y queda: 8k = 6h + 3, divides por 8 en todos los términos y queda: k = (3/4)h + 3/8 (4),

luego sustituyes la expresión señalada (4) en la primera ecuación y queda:

8h - 4( (3/4)h + 3/8 ) + 9 = 0, distribuyes el segundo término y queda:

8h - 3h - 3/2 + 9 = 0, reduces términos semejantes, haces pasaje de término y queda:

5h = - 15/2, haces pasaje de factor como divisor y queda:

h = - 3/2,

luego reemplazas en la ecuación señalada (4) y queda: 

k = (3/4)(- 3/2) + 3/8, resuelves el primer término, reduces términos semejantes y queda:

k = - 3/4,

luego, tienes que el centro de la circunferencia tiene coordenadas: C( -3/2 , -3/4 ):

luego reemplazas valores en las ecuaciones señaladas (2) (3) y quedan:

(1 - (-3/2))² + (- 2 - (-3/4))² = R²  

(- 2 - (-3/2))² + (2 - (-3/4))² = R²,

resuelves términos numéricos y quedan:

25/4  + 25/16 = R²

1/4 + 121/16 = R²,

resuelves los primeros miembros, y ambas ecuaciones quedan:

125/16 = R²,

haces pasaje de potencia como raíz y queda:

√(125/16) = R.

Luego, reemplazas valores en la ecuación canónica de la circunferencia, y queda:

( x - (-3/2) )² + ( y- (-3/4) )² = ( √(125/16) )²,

resuelves signos en los argumentos de los binomios, simplificas índice y exponente en el segundo miembro y queda:

(x + 3/2)² + (y + 3/4)² = 125/16.

Espero haberte ayudado.

Ten en cuenta que, si x<-1, entonces abs(x)=-x

Queda y=sqrt(-x)

y'=-1/(2sqrt(-x))

1)

La función debe ser continua en x = -1:

a) f(-1) = a(-1) + b = - a + b (a determinar);

b) Límites laterales:

Lím(x→-1-) f(x) = Lím(x→-1-) √(|x|) = Lím(x→-1-) |-1| = 1,

Lím(x→-1+) f(x) = Lím(x→-1+) (ax + b) = a(-1) + b = - a + b,

luego, como los límites laterales deben ser iguales queda la ecuación:

- a + b = 1 (1),

por lo que tienes:

f(- 1) = 1.

2)

Plantea las derivadas laterales de la función evaluadas para x = - 1:

f_-' (-1) = Lim(h→0-) ( f(-1+h) - f(-1) )/h =  Lim(h→0-) ( √(|-1+h|) - 1 )/h = 

= Lim(h→0-) ( √(|-1+h|) - 1 )/h,

y observa que el argumento del límite es negativo, por lo que aplicas la definición de valor absoluto y queda:

= Lim(h→0-) (√(- (- 1 + h) ) - 1)/h = Lim(h→0-) (√(1 - h) - 1)/h =

racionalizas el numerador y queda:

= Lim(h→0-) (√(1 - h) - 1)(√(1 - h) + 1) / h(√(1 - h) + 1) =

= Lim(h→0-) ( (1 - h) - 1 ) / h(√(1 - h) + 1) =

= Lim(h→0-) (1 - h - 1) / h(√(1 - h) + 1) = Lim(h→0-) (- h) / h(√(1 - h) + 1) =

Lim(h→0-) (- 1) / (√(1 - h) + 1) = - 1/2;

f₊' (-1) = Lim(h→0+) ( f(-1+h) - f(-1) )/h =

= Lim(h→0+) ( (a(-1+h) + b) - 1 )/h =

= Lim(h→0+) (- a + ah + b - 1)/h =

aplicas la igualdad señalada (1) para el primer y el tercer término del numerador y queda:

= Lim(h→0+) (1 + ah - 1)/h = Lim(h→0+) (ah)/h = a;

luego, como las derivadas laterales deben ser iguales queda:

a = - 1/2,

luego reemplazas en la ecuación señalada (1) y queda:

- (- 1/2) + b = 1, resuelves signos en el primer término y queda:

1/2 + b = 1, haces pasaje de término y queda:

b = 1/2.

Luego, observa que la expresión de la función queda:

f(x) =

√(- x)                                 si x < - 1 ( recuerda que x es negativo, por lo tanto tienes: √(|x|) = √(-x) ) 

(-1/2)x + 1/2                    si x ≥ - 1.

Luego, observa que la expresión de la función derivada queda:

f ' (x) = 

- 1/( 2√(- x) )                   si x < - 1

- 1/2                                si x = - 1

- 1/2                                si x > - 1.

Espero haberte ayudado.

1) par 2)  impar 3) impar

Jo lo siento te hice el 3, pero revisa operaciones  con la k no estoy seguro

el segundo te dejo la ecuacion deberas hallasr las constantes , espero te ayude.