El primero está bien y el segundo diría que también. Del segundo no estoy tan seguro...

Alguien me puede confirmar si tengo bien el segundo? Gracias

Está todo muy bien planteado y resuelto.

Algo mas enrevesado xD:

Otra forma puede ser con una permutación de variables (intercambias x e y entre si) y la región queda limitada por las curvas cuyas ecuaciones son:

x = lny, donde compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural y queda: e^x = y;

x = 2 (recta paralela al eje OY);

x = 0 (eje OY);

y = 0 (eje OX).

Luego haz un gráfico cartesiano y verás que la región está limitada:

superiormente por un trozo de la gráfica de y = e^x,

inferiormente por el eje OX,

por izquierda por el eje OY,

por derecha por un trozo de la recta cuya ecuación es x = 2.

Luego, puedes plantear para el área de la región:

A_R = ∫_R (e^x - 0)*dx, (indicamos con corchetes que debes evaluar con la Regla de Barrow entre x = 0 y x = 2);

luego, tienes:

A_R = ∫_R (e^x - 0)*dx = ∫_R e^xdx = [ e^x ] = evalúas = e² - e⁰ = e² - 1.

Espero haberte ayudado.

Perfecto!

Saludos.

Todo bien.

Saludos

El apartado a) lo tienes mal. Te tendría que dar por todos los valores de m menos el -4.

El apartado b) también lo tienes mal.

Respecto al apartado a, pienso que la solución de m=1 no es válida, ya que para que sean secantes el rango de la matriz resultante de agrupar el plano pi y los planos que conforman la regla s debe ser 3, y por tanto el determinante debe ser distinto de 0, para lo cual la única solución es que m sea distinto de -4:

La recta r esta definida por dos planos, puesto que en el primero la variable z no interviene, únicamente Pi puede ser paralelo al segundo. Para que dos planos sean paralelos, sus vectores normales deben ser iguales; si nos damos cuenta el vector normal de pi es (1,-3,2) según tu razonamiento en el que m=1, y el vector normal del segundo plano que conforma r es  (2,-1,2).

Puesto que los vectores normales no coinciden,no son paralelos, y por tanto la recta corta al plano y son secantes.

Se cumple la afirmación de que para todos los valores menos el -4, el sistema es SCD

Exacto Alejandro! El apartado a) es lo que dices.

Estuve intentando comprobarlo en matlab, para verificar pero tengo algun problemilla y no he aprendido a usarlo completamente jajaja

Buenas pablo, esa es una integral racional con una raíz del tipo √ (A² - X² ) que se resuelve por sustitución: el cambio de variable es  X= A * sen t

Vamos con una orientacion.

Has separado en terminos correctamente, luego puedes:

1) resolver la primera integral por medio de la sustitucion: w = 1 - x^2 y continua luego con la tarea;

2) extraes el factor constante 3, y observa que queda unbintegral directa, cuya solucion es arcsen(x) + C.

Espero haberte ayudado.

La primera integral que has separado la puedes hacerla por sustitución o directamente por potencias