¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/func_hiperbolic.htm

http://matematica1.com/funciones-hiperbolicas-ejercicios-pdf-y-videos/

Tienes la función cuya expresión es:

f(x) = senh(x) = (1/2)*(e^x - e^-x), cuyo dominio es el conjunto de los números reales;

y cuya función derivada primera tiene la expresión:

f ' (x) = (1/2)*(e^x + e^-x) = (1/2)*cosh(x), que está definida en el conjunto de los números reales;

y cuya función derivada segunda tiene la expresión:

f ' ' (x) = (1/2)*(e^x - e^-x) = senh(x), cuyo dominio es el conjunto de los números reales

Luego, puedes plantear:

a)

Para los cortes de la gráfica de la función con el eje coordenado OX y los intervalos de positividad y negatividad:

f(x) = 0, sustituyes y queda:

senh(x) = 0, sustituyes la expresión del primer miembro y queda:

(1/2)*(e^x - e^-x) = 0, multiplicas por 2 en ambos miembros y queda:

e^x - e^-x = 0, haces pasaje de término y queda:

e^x = e^-x, aplicas la propiedad de las potencias con exponente negativo y queda:

e^x = 1/e^x, haces pasaje de divisor como factor y queda (recuerda que la función exponencial toma valores estrictamente positivos):

(e^x)² = 1, haces pasaje de potencia como raíz (observa que tiene sentido solo la raíz positiva) y  queda:

e^x = 1, compones en ambos miembros con la función inversa de la función exponencial natural y queda:

x = ln(1) = 0;

luego, evalúa la función para valores entre los cuáles esté comprendido el punto de corte con el eje OX:

f(-1) = senh(-1) = (1/2)*(e^-1 - e¹) ≅ - 1,1752 < 0, por lo que la función toma valores negativos en el intervalo (-∞,0);

f(1) = senh(1) = (1/2)*(e¹ - e^-1) ≅ 1,1752 > 0, por lo que la función toma valores positivos en el intervalo (0,+∞).

b)

Para los puntos críticos de la gráfica (posibles máximos o posibles mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

f ' (x) = 0, sustituyes y queda:

cosh(x) = 0, sustituyes la expresión del primer miembro y queda:

(1/2)*(e^x + e^-x) = 0, multiplicas por 2 en ambos miembros y queda:

e^x + e^-x = 0, haces pasaje de término y queda:

e^x = - e^-x, aplicas la propiedad de las potencias con exponente negativo y queda:

e^x = - 1/e^x, haces pasaje de divisor como factor y queda (recuerda que la función exponencial toma valores estrictamente positivos):

(e^x)² = - 1, haces pasaje de potencia como raíz (observa que tiene sentido solo la raíz positiva) y  queda:

e^x = - 1, que es absurdo, porque la función exponencial toma valores estrictamente positivos,

por lo tanto tienes que la gráfica de la función no presenta puntos críticos.

Luego, puedes evaluar en un punto cualquiera, por ejemplo x = 0, y tienes:

f ' (0) = cosh(0) = (1/2)*(e⁰ + e⁰) = (1/2)*(1 + 1) = (1/2)*2 = 1 > 0, por lo que la función es creciente para todo valor real.

c)

Para los posibles puntos de inflexión y los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo:

f ' ' (x) = 0, sustituyes y queda:

senh(x) = 0, sustituyes la expresión del primer miembro y queda:

(1/2)*(e^x - e^-x) = 0, multiplicas por 2 en ambos miembros y queda:

e^x - e^-x = 0, haces pasaje de término y queda:

e^x = e^-x, aplicas la propiedad de las potencias con exponente negativo y queda:

e^x = 1/e^x, haces pasaje de divisor como factor y queda (recuerda que la función exponencial toma valores estrictamente positivos):

(e^x)² = 1, haces pasaje de potencia como raíz (observa que tiene sentido solo la raíz positiva) y  queda:

e^x = 1, compones en ambos miembros con la función inversa de la función exponencial natural y queda:

x = ln(1) = 0;

luego, evalúa la función para valores entre los cuáles esté comprendido el punto de corte con el eje OX:

f(-1) = senh(-1) = (1/2)*(e^-1 - e¹) ≅ - 1,1752 < 0, por lo que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en el intervalo (-∞,0);

f(1) = senh(1) = (1/2)*(e¹ - e^-1) ≅ 1,1752 > 0, por lo que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en el intervalo (0,+∞).

Espero haberte ayudado.

a) |1-t|=1 ---------->  1-t₁=1 , 1-t₂=-1 --------------->   t₁=0 , t₂=2

b) |8-3s|=9 -------->  8-3s₁=9 , 8-3s=-9 ------------>   s₁=-1/3 , s₂=17/3

c) |(s)/(2)-1|=1 ---->  (s₁/2)-1=1 , (s₂/2)-1=-1 ----->  s₁=4 , s₂=0

P² = (I-M)² = I²-2IM+M² = I-2M+M = I-M = P

_______________________________________

Como MP=M(I-M)=M-M²=M-M=0

y como PM=(I-M)M=M-M²=M-M=0

entonces: MP=PM

ó

Muchas gracias 

disculpa Antonio me esta ayudando mucho lo que me mandaste pero aun asi no se como se llama cada propiedad me podrias decir como se llama cada propiedad GRACIAS 

https://www.youtube.com/watch?v=7rNAOLOFhSA

No puedes simplificar por 1-k en el tercer paso, pues excluyes el caso k=1 (que es cuando se anula)

|x|=3 --------->  x₁= -3  ,  x₂=3

|x-3|=7 ------------>   x₁-3=7 ,  x₂-3=-7  ------------>   x₁=7+3= 10   ,   x₂=-7+3= -4

|2t+5|=4 ---------->  2t₁+5=4~~~-->  t₁= -1/2 ,         2t₂+5=-4  ~~~ --------->  t₂= -9/2  

El c) es muy similar al b). La solución del c) es (x,y,z,t)=(0,0,0,-1).

Saludos