A)

Tienes la recta cuya ecuación cartesiana implícita es: 3x + 2y - 5 = 0,

y puedes despejar: y = - (3/2)x + 5/2, que es su ecuación cartesiana explícita, y tienes que la pendiente es: m = - (3/2);

luego, plantea la condición de perpendicularidad: m₁ = - 1/m, de donde tienes: m₁ = 2/3, que es la pendiente de la recta pedida,

luego, como tienes que el punto de coordenadas (3,3) pertenece a la recta pedida, luego planteas la ecuación punto-pendiente y queda:

y - 3 = (2/3)*(x - 3), de donde puedes despejar: y = (2/3)*x + 5, que es la ecuación cartesiana explícita de la recta pedida.

B)

Observa que las rectas perpendiculares al eje coordenado OX tienen ecuaciones cartesianas de la forma x = h (1),

y como tienes que el punto de coordenadas (-2,7) pertenece a la recta pedida, reemplazas y queda: - 2 = h,

luego reemplazas en la ecuación señalada (1) y queda: x = - 2, que es la ecuación cartesiana de la recta pedida.

C)

Observa que las rectas perpendiculares al eje coordenado OY tiene ecuaciones cartesianas de la forma y = k (2),

y como tienes que el punto de coordenadas (5,-1) pertenece a la recta pedida, reemplazas y queda: - 1 = k,

luego reemplazas en la ecuación señalada (2 y queda: y = - 1, que es la ecuación cartesiana de la recta pedida.

D)

Tienes la recta cuya ecuación cartesiana implícita es: 3x - 6y + 2 = 0,

y puedes despejar: y = (1/2)x + 1/3, que es su ecuación cartesiana explícita, y tienes que la pendiente es: m = 1/2;

luego, plantea la condición de perpendicularidad: m₁ = - 1/m, de donde tienes: m₁ = - 2/1 = - 2, que es la pendiente de la recta pedida,

luego, como tienes que el punto de coordenadas (0,0) pertenece a la recta pedida, luego planteas la ecuación punto-pendiente y queda:

y - 0 = - 2*(x - 0), de donde puedes despejar: y = - 2*x, que es la ecuación cartesiana explícita de la recta pedida.

E)

Tienes las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta:

x = - 1 + 2λ

y = 5 + 1λ,

con λ ∈ R.

y su vector director es (observa los coeficientes que multiplican al parámetro): u = < 2 , 1 >,

luego, plantea la condición de paralelismo para el vector de la recta pedida: v = k*u, con k ≠ 0, y para k = 1 queda: v = 1*< 2 , 1 > = < 2 , 1 >,

y como tienes que el punto de coordenadas (-1,0) pertenece a la recta pedida, plantea sus ecuaciones cartesianas paramétricas:

x = - 1 + 2μ

y =  0 + 1μ,

con μ ∈ R.

F)

Tienes dos puntos que pertenecen al segmento: A(0,2) y B(3,1), luego puedes plantear la pendiente de la recta que lo incluye:

m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A), reemplazas y queda: m = (1 - 2)/(3 - 0) = - 1/3,

luego, plantea la condición de perpendicularidad: m₁ = - 1/m, de donde tienes: m₁ = 3/1 = 3, que es la pendiente de la recta pedida,

luego, como tienes que el punto de coordenadas (- 3,3) pertenece a la recta pedida, luego planteas la ecuación punto-pendiente y queda:

y - 3 = 3*( x - (- 3) ), de donde puedes despejar: y = 3*x + 12, que es la ecuación cartesiana explícita de la recta pedida.

Espero haberte ayudado.

Si ya tienes el subespacio intersección y el subespacio  suma expresados mediante sus ecuaciones cartesianas, sólo tienes que comprobar si las coordenadas de cada uno de los vectores que te dan satisfacen o no dichas ecuaciones.

Con cartesiana te referis a implicita o parametrica? (con esas denominaciones trabajamos). 

" sólo tienes que comprobar si las coordenadas de cada uno de los vectores que te dan satisfacen o no dichas ecuaciones."

A que te refieres con "satisfacen", que sean lo mismo?

Por ejemplo W1 interseccion W2 me dio : <(217/264 , -47/132 , -41/88 , -1 , 1 , 0 )  ,  (141/176 , -35/88 , -71/176 , -1  , 0  1  )  >

                       W1 + W2 me dio : < (-1,1,0,0,0,0)  , (-1,0,1,0,0,0)  , (0,0,0,-1,1,0)  , (0,0,0,-1,0,1)  , (1,-1,1,-1,1,-1)  , (1,2,3,4,5,6)   >

Con esos datos, como la haría?

Debes plantear las combinaciones lineales para cada vector.

Por ejemplo, para u = <1,1,-2,-2,1,1>:

a) para ver si u es un elemento de W₁∩W₂ (suponemos que has obtenido un conjunto generador correcto), plantea:

a<217/264,-47/132,-41/88,-1,1,0> + b<141/176,-35/88,-71/176,-1,0,1> = <1,1,-2,-2,1,1>,

luego, efectúas los productos, sumas componente a componente, luego igualas componente a componente y queda el sistema de seis ecuaciones con dos incógnitas:

(217/264)a + (141/176)b = 1

- (47/132)a - (35/188)b = 1

- (41/88)a - (71/176)b = - 2

- 1a - 1b = -2

1a           = 1, de aquí despejas: a = 1

          1b = 1, de aquí despejas: b = 1,

luego reemplazas en las otras cuatro ecuaciones y quedan las igualdades:

217/264 + 141/176 = 1

- 47/132 - 35/188 = 1

- 41/88 - 71/176 = - 2, resuelves el primer miembro y queda: - 153/175 = - 2, que es una identidad falsa

- 1 - 1 = - 2, resuelves el primer miembro y queda: - 2 = - 2, que es una identidad verdadera;

luego, como la cuarta ecuación no verifica la solución a = 1, b = 1, puedes concluir que el vector u no pertenece al subespacio intersección.

En cambio, si las cuatro igualdades quedaban como identidades verdaderas, podrías haber concluido que el vector u si pertenece al subespacio intersección.

Y en forma similar, puedes proceder para verificar pertenencia o no pertenencia de un vector al subespacio suma.

Espero haberte ayudado.

Perfecto. Ahora, si ya uno me da falso ya esta no, no hace ni que siga y ya se que NO pertenece?

Así es. Con una ecuación que no se verifique, ya queda demostrado que el vector no pertenece al subespacio.

Para que sí pertenezca, deben verificarse todas las ecuaciones sin excepciones.

Espero haberte ayudado.

Que descanse en paz.

Gracias.
Una pregunta 
¿La fórmula de volumen siempre será así?
¿Podrías enviarme algún material o enlace sobre esas fórmulas?

https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf

Si entiendo tu pregunta , te diría que no hay nada se trataría de una integral indefinida.

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Sin poder aplicar L'Hôpital, solo se me ocurre esto:

Te va la resolución exacta, Jimmy: