Digamos que  z³=w=a+bi entonces se forma la ecuacion

w²-2iw-1=0

Notemos que si w=a+bi, entonces w²=a²-b²+2abi, ademas -2iw=2b-2ai

Entonces w²-2iw-1=a²-b²+2abi+2b-2ai-1=a²-b²+2b-1 + (2ab-2a)i=0
Igualamos las partes reales y las imaginarias y llegamos a dos ecuaciones

a²-b²+2b-1=0

2ab-2a=0

De la segunda se llega a que 2(ab-a)=0, entonces ab-a=0, entonces a(b-1)=0, luego a=0 ò b-1=0, es decir b=1

Ademas, de la primera se llega a que a²=b²-2b+1=(b-1)², entonces al sacar raiz cuadrada, queda que |a|=|b-1|, ahora si a=0, entonces b-1=0, es decir b=1 y si b=1, entonces a=0, lo cual significa que la solucion a=0 y b=1 es consistente con el sistema

Por lo tanto w=a+bi=0+i

Sabemos que z³=w=i, por lo tanto, saquemos las raices cubicas de este complejo con la formula de De Moivre

Zk=|z|Λ(1/n) (cos ((α+2πk)/n) + isen((α+2πk)/n) ) donde en este caso n=3 al ser las raices cubicas

Habra que obtener el modulo de w=0+1i que es 1, ent |w|=1, luego si obtenemos la raiz cubica de este numero tambien da 1, ahora bien expresemos a w en forma polar, sabemos que tgα=b/a, pero al tener solo componente imaginaria hacia arriba (pues b>0),entonces α=90ª=π/2, por tanto w=1 (cos(π/2) + isen(π/2))=1(0+i)=i

Calculemos las raices con k=0, y n=3, por cierto habra 3 raices distintas que se obtienen con la formula usando desde k=0 hasta k=n-1, en este caso usaremos hasta k=2 

Zo=1 ( cos(π/6) + isen(π/6))

Ahora con k=1

Z1=1( cos (5π/6) + isen(5π/6))

Ahora con k=2

Z2=1 (cos(9π/6) + isen(9π/6) =1(cos(3π/2) +isen(3π/2))

Por lo tanto Z0,z1,z2 son soluciones de tu ecuacion, cuentanos si tienes mas dudas

Vamos con una variante.

Observa que en el primer miembro tienes una expresión polinómica de grado 6,

que tiene seis raíces en el campo de los números complejos, de acuerdo al Teorema Fundamental.

Aplicas la sustitución (cambio de incógnita) que sugiere el colega Alejandro:

w = z³ (1),

luego sustituyes y la ecuación queda:

w² - 2iw - 1 = 0,

luego, ordenas factores en el segundo término, escribes el tercer término como un cuadrado y queda:

w² - 2wi + i² = 0,

observa que tienes un trinomio cuadrado perfecto, factorizas y queda:

(w + i)² = 0,

luego sustituyes la expresión señalada (1) y queda:

(z³ + i)² = 0 (2),

haces pasaje de potencia como raíz y queda:

z³ + i = 0 (3),

haces pasaje de término y queda:

z³ = - i,

expresas el segundo miembro en forma polar (módulo y argumento) y queda:

z³ = 1_270°,

haces pasaje de potencia como raíz y queda:

z = ∛( 1_270° ),

luego aplicas la fórmula de De Moivre para las raíces y queda:

z =  ∛(1)_{(270°+360°k)/3}, con k = 0, 1, 2,

luego resuelves el módulo, distribuyes el denominador en el argumento y queda:

z = 1_90°+120°k, con k = 0, 1, 2,

luego, tienes tres raíces:

z₀ = 1_90°, de donde tienes que (z - z₀) es factor,

z₁ = 1_210°, de donde tienes que (z - z₁) es factor,

z₂ = 1_300°, de donde tienes que (z - z₂) es factor,

luego, expresas el primer miembro de la ecuación señalada (3) en forma factorizada y queda:

(z - z₀)*(z - z₁)*(z - z₂) = 0,

luego sustituyes el primer miembro en el primer miembro de la ecuación señalada (2) y queda:

( (z - z₀)*(z - z₁)*(z - z₂) )² = 0,

distribuyes la potencia y queda:

(z - z₀)² * (z - z₁)² * (z - z₂)² = 0,

por lo que puedes concluir que los tres factores elementales tienen multiplicidad 2,

y que las raíces z₀, z₁ y z₂, que son soluciones de la ecuación del enunciado, son todas de multiplicidad 2.

Puedes luego expresar las soluciones en forma trigonométrica y después en forma cartesiana binómica si te resulta necesario.

Espero haberte ayudado.

            12x  si 6≤x<10

C(x)=

            12·10 + 6(x-10)  si x≥10

C(14)=12·10 + 6(14-10)=120+6·4=144 

Nota que el vector (0,0,0,0) ∈S, pues 0+0-0=0

Digamos que  (w1,x1,y1,z1) y que (w2,x2,y2,z2) , estan en S, por lo que se sigue que x1+w1-z1=0 y que x2+w2-z2=0, notemos que si sumamos estas dos expresiones nos queda

x1+x2+w1+w2-z1-z2=x1+x2+w1+w2-(z1+z2)=0

Por otro lado la suma de los vectores  (w1,x1,y1,z1) (w2,x2,y2,z2) nos da (w1+w2,x1+x2,y1+y2,z1+z2) y si este vector esta en S, se deberia cumplir que x1+x2+w1+w2-(z1+z2)=0 que, en efecto, se cumple, por lo tanto la suma es cerrada

Ademas, sabemos que si (w,x,y,z) esta en S, entonces x+w-z=0, si multiplicamos esta ecuacion por un escalar "t", entonces 

t(x+w-z)=0=tx+tw-tz

Por otro lado, multipliquemos al vector (w,x,y,z) por el escalar t, nos queda t(w,x,y,z)=(tw,tx,ty,tz), sabemos que si este vector esta en S deberia ocurrir que 0=tx+tw-tz que, en efecto, se cumple, por lo tanto los multiplos escalares de cualquier vector de S estan tambien en S

Por lo anterior, que se cumplieron estas tres propiedades, S es subespacio vectorial

¿Probaste triangulizando la matriz de los coeficientes por el método de Gauss?

T es una incognita o un parametro? Quiza si triangulas la matriz como dice Facu, puedas ver que valor de T hace que el sistema tenga solucion o no, te recomiendo los videos sobre discutir un sistema

https://www.unicoos.com/buscar?nombre=discutir

Nos cuentas si hay mas dudas

T es una incógnita, de la cual tengo que hallar el valor para saber si el sistema es compatible, (determinado/indeterminado) o incompatible.
Lo que no entiendo bien es que si tengo que encotnrar ese "triangulo de ceros" o solamente la fila con la incognita en ceros? 

Lo que no entiendo es como resolverlo al ser 3x5 la matriz, no encontre ningun ejemplo en todo internet. Los que encontré tenian despues del igual todos ceros, no era el ejemplo que necesitaba!

debería buscar que quede así? (ejemplo) 1 0 1 -2 = 1 0 1 0 5 = 3 0 0 3 -1 = 6 Es decir, busco esa triangulación de ceros aunque la matriz no sea cuadrada (nxn)?

Exacto, aplica ese procedimiento a la matriz de los coeficientes y sacas el rango de la matriz, repites el procedimiento con la matriz ampliada (incluyendo los terminos independientes) y aplicas rouche frobenius

Si el sistema fuera compatible determinado por un lado tendrías el rango de la matriz de los coeficientes de manera numérica y por otro lado el rango de la matriz ampliada en función de T, allí puedes despejar T para saber cuánto tendría que valer T para que el sistema fuese compatible determinado

La primera es correcta,

la segunda te propongo resolverla de manera mas sencilla

Buenas cesar, entonces el segundo problema lo tengo mal realizado no?

Un saludo.

Como C={a,b,c,d,e,f} y D={a,c,e} entonces C\D={b,d,f}

y como E={d,e,f} y F={a,b} entonces F∩E=∅

por lo tanto  (C\D)∪(F∩E)= (C\D)={b,d,f}

Bien.

Si D={a,c,e} y F={a,b} => F∩D={a}

y como E={d,e,f} => (F∩D)∪E=E={a,d,e,f}

Bien.

Tienes la integral:

I = ∫ (-2*e^2x)*dx =  - ∫ e^2x*2*dx, 

observa que puedes aplicar la sustitución (cambio de variable): w = 2x, de donde tienes: dw = 2*dx,

luego sustituyes y la integral queda:

I = - ∫ e^w*dw = integras = - e^w + C = sustituyes = - e^2x + C.

Espero haberte ayudado.