gracias cesar me ha sido de gran ayuda

Está todo bien.

Los naturales a partir del 3 (si no se incluye a 0 en N).

Correcto.

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

La propiedad geométrica que define el lugar geométrico, tiene que traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

Por lo que existen inmumerables L.G. , 

Una duda, en lugar de PAQ, no es BAQ?

ESTE ES EL GRÁFICO

Gracias por el dibujo, fijate que al ser BP bisectriz, BP divide al ang ABC a la mitad, i.e. el ang ABP=45º=CBP

Notemos que se forma el triangulo ABP, luego sumando sus angulos sabemos que debe resultar 180, es decir

BAP+ABP+APB=180, pero BAP=75 y ABP=45 entonces APB=180-120=60

Notemos ahora que APB y CPB son suplementarios, entonces APB+CPB=180, luego   CPB=180-60=120

Observemos que CPB y APQ son opuestos por el vertice, por esta razon APQ=CPB=120 y analogamente APB y QPC son opuestos por el vertice, luego QPC=APB=60

Notemos el triangulo APQ, sabemos que la suma de sus ang internos es 180, i.e.

PAQ+APQ+AQP=180, sabemos que PAQ=30 y APQ=120, luego AQP=180-150=30

Notemos ahora el triangulo PQC, sabemos que la suma de sus ang internos es igual a 180, i.e.

CQP+CPQ+QCP=180, sabemos que CPQ=60, entonces 

CQP+QCP=120

Veamos el cuadrilatero ABQC, veamos que la suma de los angulos

BAQ+AQC+QCB+CBA=105+(30+CQP)+(QCP+15)+90=240+CQP+QCP y sabemos que CQP+QCP=120, entonces la suma =360

De ahi se sigue que ABQC es un cuadrilatero ciclico, es decir podemos dibujar una circunferencia tal que pase por los puntos A,B,Q,C y una propiedad de esta circunferencia es que un par de angulos opuestos son suplementarios, en este caso, tenemos que 

ABC+AQC=180, sabemos que ABC=90 y AQC=30+CQP, entonces

120+CQP=180, entonces CQP=180-120=60, analogamente podemos encontrar QCP que es lo que nos pide el ejercicio

Sabemos que BAQ+BCQ=180 al ser opuestos y BAQ=105 Y BCQ=15+QCP

120+QCP=180, entonces QCP=60

nos cuentas si hay mas dudas

Vamos con una orientación.

Observa que en la identidad del enunciado, tienes que los argumentos finales de los cosenos son la suma y la resta de los argumentos iniciales, respectivamente,

y observa que la identidad puede escribirse:

cos(x/2)*cos(x/4) = (1/2)*( cos(3x/4) + cos(x/4) ) = (1/2)*cos(3x/4) + (1/2)*cos(x/4) (1).

Luego, observa que para los dos últimos factores de la expresión a tratar tienes:

cos(x/8)*cos(x/16) = 

aplicas la sustitución (cambio de variable): u = x/4, de donde tienes: 4u = x y queda:

= cos(u/2)*cos(u/4) =

aplicas la identidad señalada (1) y queda:

= (1/2)*cos(3u/4) + (1/2)*cos(u/4) = 

vuelves a sustituir y queda:

= (1/2)*cos(3x/16) + (1/2)*cos(x/16) (2).

Luego, tienes la expresión a tratar:

cos(x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16) =

sustituyes los dos primeros factores por  la expresión señalada (1), los dos últimos por la expresión señalada (2), y queda:

= ( (1/2)*cos(3x/4) + (1/2)*cos(x/4) ) * ( (1/2)*cos(3x/16) + (1/2)*cos(x/16) ) =

distribuyes y queda:

= (1/4)*cos(3x/4)*cos(3x/16) + (1/4)*cos(3x/4)*cos(x/16) + (1/4)*cos(x/4)*cos(3x/16) + (1/4)*cos(x/4)*cos(x/16) =

designa a cada uno de los términos de la expresión y quedan:

= A + B + C + D (3).

Luego, plantea la identidad del enunciado para cada término por separado y tienes:

A = (1/4)*( (1/2)*cos(15x/16) + (1/2)*cos(9x/16) ) = (1/8)*cos(15x/16) + (1/8)*cos(9x/16) (A*),

B = (1/4)*( (1/2)*cos(13x/16) + (1/2)*cos(11x/16) ) = (1/8)*cos(13x/16) + (1/8)*cos(11x/16) (B*),

C = ( (1/2)*cos(7x/16) + (1/2)*cos(x/16) ) = (1/8)*cos(7x/16) + (1/8)*cos(x/16) (C*),

D = ( (1/2)*cos(5x/16) + (1/2)*cos(3x/16) ) = (1/8)*cos(5x/16) + (1/8)*cos(3x/16) (D*),

Luego, solo queda que sustituyas las expresiones señaladas (A*) (B*) (C*) (D*) en la expresión señalada (3) para concluir la tarea.

Espero haberte ayudado.

Nota que los ang AEC=BED por ser opuestos en el vertice E, ademas los ang.  ACB=ADB pues comparten el mismo arco, que es el AB, por tanto, los triangulos ACE y BED son semejantes, pues ya tienen un par de angulos iguales, no queda mas que en el tercero tambien sean iguales, es decir que los ang CAE=EBD

Ahora, como el lado opuesto al ang AEC es AC y el lado opuesto al ang BED es BD y ya sabemos que AEC=BED , se tiene que AC/BD=k, siendo k la constante de semajanza entre los triangulos ACE y BED 

Ademas como el lado opuesto al ang CAE es CE y el lado opuesto al ang EBD es ED y sabemos que CAE=EBD, entonces CE/ED=k

Luego se sigue que AC/BD=CE/ED nota que los segmentos que estan en la parte de arriba de ambas fracciones son segmentos del mismo triangulo, el ACE y mientras que los segmentos que estan debajo son segmentos del otro triangulo, el EBD, no se valdria "mezclarlos" es decir, poner uno arriba y otro abajo...

Ahora como AC=2, CE=1,ED=2,ent

2/BD=1/2, de aqui se sigue que BD=4 cm

Si tienes mas dudas, nos avisas

Haz un dibujo de las bases de ambos cuerpos, y verás que la base del prisma (cuadrado) está inscrito a la base del cilindro (circunferencia),

por lo que tienes la relación entre la diagonal de la base del prisma es igual al doble del radio del cilindro:

d = 2r,

luego, sustituye (observa que aplicamos el Teorema de Pitágoras) en el primer miembro y queda:

d = √(2)L,

igualas ambas expresiones y queda:

2r = √(2)L, de donde puedes despejar:

2r/√(2) = L, (1).

Luego observa que el prisma y el cilindro tienen alturas iguales:

h = 2r (2).

Luego, el volumen del prisma queda:

V_p = L²*h = sustituyes = ( 2r/√(2) )²*2r = (4r²/2)*2r = 2r²*2r = 4r³.

Espero haberte ayudado.

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Rpta=2.194528049