Ya me perdonas, escaseo un poco en pizarra :P

El último paso que doy es simplemente que al dividir las potencias de base 10 ( 10³ / 10^-10 ), se restan los exponentes, y al restarle a un número positivo un número negativo simplemente es una suma, luego ( 10¹⁰⁺³ ). El resto solo es dividir lo que queda, que da un numero decimal de parte entera de un solo número, luego no hace falta ni cambiarlo, simplemente se queda como está: ( 9'075 x 10¹³ ).

Es exacta 

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

x/y = w, de donde tienes: x = y*w,

luego diferencias y tienes:

dx = dy*w + y*dw,

luego sustituyes y la ecuación diferencial queda:

(1+ e^w)*(dy*w + y*dw) + e^w*(1 - w)*dy = 0,

luego distribuyes y queda:

w*dy + y*dw + w*e^w*dy + y*e^w*dw + e^w*dy - w*e^w*dy = 0,

cancelas términos opuestos y queda:

w*dy + y*dw + y*e^w*dw + e^w*dy = 0,

haces pasajes de términos extraes factores comunes y queda:

y*(1 + e^w)*dw = - (w + e^w)*dy,

haces pasajes de factores como divisores y queda:

( (1 + e^w)/(w + e^w) )*dw = - (1/y)*dy,

y luego puedes continuar la tarea integrando en ambos miembros:

observa que en el primero puedes emplear la sustitución (cambio de variable): p = w + e^w, y que el segundo tiene resolución directa.

Haz el intento y, si te resulta necesario, no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Vas bien servido, Fernando:

Entiendo la parte de la combinación lineal, pero no quedaría que el ker lo forma x + z=0 ; y-z=0 en vez de y +z= 0.  (Gracias por su ayuda de verdad).

Mejor pon foto del enunciado original, Irene.

Ojo al sustituir   

Subespacios vectoriales

Para que A no sea una base, el rango de la matriz que determina no puede ser 3. Por tanto, ha de ser el determinante igual a 0.

b) p(E-C)+p(C-E)=p(E)-p(E∩C)+p(C)-p(C∩E)=p(EUC)-p(E∩C)=31/60-18/120=22/60=11/30