La a)

Tienes la ecuación diferencial:

y ' + y = 2e^2x,

que es lineal, de primer orden y de primer grado.

Luego, plantea la ecuación homogénea asociada:

y ' + y = 0, haces pasaje de término, expresas a la derivada como cociente de diferenciales y queda:

dy/dx = - y, separas variables y queda:

(1/y)*dy = - dx integras en ambos miembros y queda (consideramos que la constante de integración es igual a cero en este paso):

ln|y| = - x, compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural y queda:

y_H = e^-x, que es una solución de la ecuación homogénea asociada.

Luego, plantea para la solución general de la ecuación diferencial del enunciado:

y = y_H*u = e^-x * u (1), de donde tienes: y ' = - e^-x * u + e^-x * u ',

luego sustituyes en la ecuación del enunciado y queda:

- e^-x * u + e^-x * u ' + e^-x * u = 2e^2x, 

divides en todos los términos de la ecuación por e^-x (observa que es estrictamente positivo) y queda:

- u + u ' + u = 2e^3x, cancelas términos opuestos, expresas a la derivada como cociente de diferenciales y queda:

du/dx = 2e^3x, haces pasaje de divisor como factor y queda:

du = 2e^3x * dx, integras en ambos miembros y queda:

u = (2/3)e^3x + C (2).

Luego sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1) y queda:

y = e^-x * ( (2/3)e^3x + C ),

luego distribuyes y queda:

y = (2/3)e^2x + Ce^-x,

que es la expresión de la solución general, por lo que tienes que la opción (a) es la respuesta correcta.

Para verificar, plantea la expresión de la función derivada:

y ' = (4/3)e^2x - Ce^-x,

luego sustituyes en el primer miembro de la ecuación diferencial del enunciado y tienes:

y ' + y = (4/3)e^2x - Ce^-x + (2/3)e^2x + Ce^-x = reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones) = 2e^2x.

Espero haberte ayudado.

Termina los deberes Sofía.

Disculpa en la 7, como harìa?  elevaría al cuadrado a los que están en valor absoluto,para trabajarlo de manera normal? o hay alguna otra forma..

Vamos con una orientación.

Puedes dividir en todos los términos de la ecuación por x⁴, simplificas y queda:

( 1 + (y/x)⁴ )*dx - 2*(y/x)*dy = 0, haces pasaje de término y queda:

( 1 + (y/x)⁴ )*dx = 2*(y/x)*dy (1).

Luego puedes plantear:

y/x = w, de donde tienes: y = x*w, y también tienes: dy = dx*w + x*dw

luego sustituyes en la ecuación señalada (1) y queda:

(1 + w⁴)*dx = 2*w*(dx*w + x*dw),

distribuyes en el segundo miembro y queda:

(1 + w⁴)*dx = 2*w²*dx + 2*w*x*dw,

haces pasaje de término, extraes factor común y queda:

(1 + w⁴ - 2w²)*dx = 2*w*x*dw,

factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro y queda:

( (w² - 1)² )*dx = 2*w*x*dw,

haces pasajes de factores como divisores y queda:

(1/x)*dx = ( 2*w / (w² - 1)² )*dw.

Luego pudes continuar la tarea,

y observa que la integral del segundo miembro puede resolverse con el cambio de variable: p = w² - 1.

Haz el intento, y si te resulta necesario, no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Para k  par, J^k=I  y  para k impar, J^k =J.

 O de forma más intelectual o cursi evitando paridades:

J^k=(1/2)(1+(-1)^k)I_n+(1/2)(1-(-1)^k)J ∀k=1,2,3,...

Pon foto del enunciado original, para ver si el apartado c) está bien transcrito.

c) Determinar el tamaño de la muestra a tomar si se desea que la probabilidad

de que la media muestral se encuentre en el rango dado por

esos mismos valores, sea 0,005.

holaa sisi esta bien esctito   gracias por la ayuda!

usted sabe o me podria decir cuando uso t de estuden y normal? o chi cuadrado ? cuales son las formulas saludos!

Muchas gracias. Si se tiene en el ejercicio un dominio de 0 a 1/50 segundos, se debe restringir el tiempo en ese intervalo para encontrar los dos  tiempos positivos ?

En otras palabras

Antonio Benito, buenos días. Le agradezco que me haya dado la solución, pero tal, como pregunté, mi problema es que no puedo determinar los pasos que me lleven a la solución...