Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una cirunferencia de 8 metros de radio. Halla el valor del área.
Haz un gráfico cartesiano, con una circunferencia con centro en el origen y radio ocho,
cuya ecuación es:
x2 + y2 = 64,
de donde puedes despejar:
y = √(64 - x2) (1).
Luego, elige un punto genérico P(x,y) que pertenezca a la circunferencia y que se encuentre en el primer cuadrante (observa que x e y son ambas positivas).
Luego, observa que el punto Q(x,-y), que es el símétrico a P con respecto al eje OX también pertenece a la circunferencia.
Luego, observa que el punto R(-x,y), que es el simétrico a P con respecto al eje OY también pertenece a la circunferencia.
Luego, observa que el punto S(-x,-y), que es el simétrico a P con respecto al origen, también pertenece a la circunferencia.
Luego, tienes un rectángulo con vérticies P, Q, R, S inscrito en la circunferencia cuyas dimensiones son:
base = distancia entre P y R = distancia entre Q y S= 2x,
altura = distancia entre P Q = distancia entre R y S = 2y.
Luego, puedes plantear para el área del rectángulo:
A = base*altura = 2x*2y = 4*x*y.
Luego, sustituyes la expresión señalada (1) y tienes:
A(x) = x*√(64 - x2) = x*(64 - x2)1/2, cuyo dominio es el intervalo: D = (0,8).
Luego, plantea la expresión de su función derivada:
A ' (x) = 1*(64 - x2)1/2 + x*(1/2)*(64 - x2)-1/2 *(- 2x) = (64 - x2)1/2 - x2/(64 - x2)1/2.
Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):
A ' (x) = 0, sustituyes y queda:
(64 - x2)1/2 - x2/(64 - x2)1/2 = 0, haces pasaje de término y queda:
(64 - x2)1/2 = x2/(64 - x2)1/2, haces pasaje de divisor como factor y queda:
64 - x2 = x2, haces pasajes de términos y queda:
- 2x2 = - 64, haces pasaje de factor como divisor y queda:
x2 = 32, haces pasaje de potencia como raíz y queda:
x = √(32),
luego reemplazas en la ecuación señalada (1) y queda:
y = √( 64 - ( √(32) )2 ) = √( 64 - 32 ) = √(32).
Luego, tienes que las dimensiones del rectángulo quedan:
base = 2*√(32),
altura = 2*√(32);
y su área queda:
A = base*altura = 2*√(32)*2*√(32) = 4*( √(32) )2 = 4*32 = 128.
Puedes verificar que el área es máxima, mediante la reiteración de los cálculos para los valores:
x = 5 ( que es menor que √(32) ) y x = 6 ( que es mayor que √(32) ).
Espero haberte ayudado.
Siento mucho que hayas pasado ese trabajo para nada, porque no he entendido nada. Quizá debí mencionar que el objetivo imagino que es hallarlo de la misma manera que hallamos el máximo o el mínimo de una función, derivando. No sé en realidad cómo hacerlo pero sí sé que como has dicho no es porque no me suena nada... Gracias de todos modos.
