Vamos con una orientación.
Tienes un sólido B que es la cuarta parte de un elipsoide macizo.
Plantea un sistema de coordenadas tridimensional cartesiano OXYZ usual (eje OX "hacia adelante y atrás", eje OY "hacia la derecha e izquierda", eje OZ "hacia arriba y abajo").
Observa que el sólido está limitado por el plano OXY "por debajo", el plano OYZ "por derecha" y el elipsoide "por arriba".
Luego, observa que la base del sólido (R) es un semidisco elíptico en el plano OXY, que se encuentra en el segundo y en el tercer cuadrante, que queda descrito:
x2/9 + y2/4 = 1
z = 0
y ≤ 0,
y observa que la ecuación cartesiana explícita del elipsoide queda:
z = f(x,y) = 1 - x2/9 - y2/4, que puedes escribir en la forma: z = f(x,y) = 1 - (x/2)2 - (y/3)2.
Luego, puedes plantear para el cálculo del volumen:
VB = ∫∫R f(x,y)*dx*dy = ∫∫R ( 1 - (x/2)2 - (y/3)2 )*dx*dy (1).
Luego, puedes plantear el cambio de coordenadas:
x/3 = u, de donde despejas: x = 3u, con -1 ≤ u ≤ 1 (observa que los valores extremos para x son - 3 y 3),
y/2 = v, de donde despejas: y = 2v, con -1 ≤ v ≤ 1 (observa que los valores extremos para y son: - 2 y 2),
cuyo factor de compensación (jacobiano) queda: |J| = 3*2 = 6.
Luego, aplicas el cambio de coordenadas y la integral señalada (1) queda:
VB = ∫∫R ( 1 - u2 - v2 )*6*du*dv = 6* ∫∫R ( 1 - u2 - v2 )*du*dv (2).
Luego, puedes plantear el cambio a coordenadas polares:
u = r*cosθ
v = r*senθ,
con 0 ≤ r ≤ 1, π/2 ≤ θ ≤ 3π/2,
cuyo factor de compensación (Jacobiano) queda: |J| = r.
Luego, aplicas el cambio de coordenadas y la integral señalada (2) queda:
VB = 6* ∫∫R ( 1 - r2 )*r*du*dv = 6* ∫∫R ( r - r3 )*dr*dθ = y puedes continuar la tarea.
Observa que, desde el punto de vista geométrico, tienes inicialmente una región de integración R que es un semidisco elíptico, que con la primera transformación (cambios de escalas) se transforma en en un semicírculo de radio igual a uno, y luego aplicas el cambio a coordenadas polares.
Espero haberte ayudado.
