Dos rectas son perpendiculares cuando los correspondientes vectores directores lo son. Y esto sucede cuando el producto escalar de éstos vale 0.

El proceso se puede intuir que está bien...pero difícil verificarlo porque no se ve (prueba a mandarlo sin la ardilla enamoradiza)

No entiendo del todo.Puedes indicarme donde está el fallo

Observa que debes derivar término a término, por lo que procederemos por pasos.

1°)

T₁ = senx/2cos²x,

aplicas la regla de derivación para un cociente de funciones y queda:

T₁' = ( cosx*2cos²x - senx*4cosx(-senx) ) / (2cos²x)² = (2cos³x + 4sen²x*cosx) / 4cos⁴x,

extraes factor común en el numerador y queda:

T₁' = 2cosx(cos²x + 2sen²x) / 4cos⁴x = 2cosx(cos²x + sen²x + sen²x) / 4cos⁴x = (1 + sen²x) / 2cos³x,

aplicas identidad trigonométrica del seno en función del coseno en el numerador y queda:

T₁' = (1 + 1 - cos²x) / 2cos³x = (2 - cos²x) / 2cos³x = 2 / 2cos³x - cos²x / 2cos³x = 1/cos³x - 1 / 2cosx.

2°)

T₂ = (1/2)ln( tan(π/4 - x/2) ),

aplicas la regla de la cadena y queda:

T₂' = (1/2)*( 1/tan(π/4 - x/2) )*( 1/cos²(π/4 - x/2) )*(-1/2),

aplicas identidad de la cotangente (1/tangente) y queda:

T₂' = - (1/4)*( cos(π/4 - x/2) /sen(π/4 - x/2) *( 1/cos²(π/4 - x/2) ) = - (1/4)*( 1 / cos(π/4 - x/2)*sen(π/4 - x/2) ),

multiplicas y divides por 2 y queda:

T₂' = - (1/2)*( 1 / 2cos(π/4 - x/2)*sen(π/4 - x/2) ),

aplicas la identidad del seno del doble de un ángulo en el denominador del agrupamiento y queda

T₂' = - (1/2)*( 1 / sen( 2(π/4 - x/2) ) = - (1/2)*( 1 / sen(π/2 - x) ),

aplicas la identidad del seno del complemento de un ángulo y queda:

T₂' = - (1/2)*( 1/cosx) = - 1 / 2cosx.

Luego, tienes la expresión de la función:

y = T₁ - T₂, derivas y queda:

y ' = T₁' - T₂', sustituyes expresiones y queda:

y ' = 1/cos³x - 1 / 2cosx - ( - 1 / 2cosx ), resuelves el signo en el tercer término y queda:

y ' = 1/cos³x - 1 / 2cosx + 1 / 2cosx, cancelas términos opuestos y queda:

y ' = 1/cos³x = sec³x.

Espero haberte ayudado.

http://www.ditutor.com/polinomios/teorema_factor.html

No salimos a enlaces desconocidos. Sube foto del enunciado o transcríbelo  del modo más fiel.

Muy probablemente sean resultados iguales expresados de manera diferente. 

Si en algún caso en esencia no son lo mismo (hay algún error), sería de agradecer que indicaras dónde aparecen esas discrepancias 

Un saludo!

Y qué implica que no sea derivable en ese punto? La gráfica no se representa?

Después para encontrar los mínimos, veras que en x=0 tendrás un mínimo porque para estudiar los extremos relativos se tiene que tener en cuenta los puntos en que no es derivable también!! La gráfica está perfectamente bien representada!! También puedes representar las dos funciones que estan dentro de la función a trozos.