Puedes llamar y a la cantidad de sustancia, t al tiempo, y tienes que la velocidad es dy/dt.
Luego, de acuerdo con el enunciado, tienes:
dy/dt = k*y, donde k es una constante de proporcionalidad.
Luego haces pasajes en la ecuación diferencial y queda:
dy/y = k*dt, integras en ambos miembros y queda:
ln|y| = k*t + c, escribes a la constante de integración como c = lnC, sustituyes y queda:
ln|y| = k*t + lnC, compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural y queda:
y = ek*t + lnC, aplicas la propiedad del logaritmo de un producto y queda:
y = ek*t*C, ordenas factores y queda:
y = C*ek*t, que es la expresión de la función exponencial general de variable independiente t.
Observa que para t = 0, el valor de la función es: y = C*ek*0 = C*e0 = C*1 = C, por lo que la cantidad inicial de sustancia es C.
Luego, puedes plantear una tabla de valores tiempo (t) - cantidad de sustancia (y), con los datos del enunciado:
t y
0 C a determinar
1 (4/5)*C
4 C - 30
Sustituyes los valores y expresiones de las dos últimas líneas en la expresión de la función, y tienes el sistema de ecuaciones:
(4/5)*C = C*ek
C - 30 = C*e4k
Luego, haces pasaje de factor como divisor en la primera ecuación y queda:
4/5 = ek, compones en ambos miembros con la función inversa de la función exponencial natural y queda:
ln(4/5) = k, resuelves el primer miembro y tienes: - 0,223 ≅ k,
Luego, reemplazas en la segunda ecuación y queda:
C -30 = C*e4*ln(4/5), resuelves el segundo factor del segundo miembro y queda:
C - 30 = C*0,4096, haces pasajes de términos y queda:
C*0,5904 = 30, haces pasaje de factor como divisor y queda:
C = 30/0,5904 ≅ 50,813 gr.
Espero haberte ayudado.
