Gracias, sé que está en Emestrada, lo que no entiendo es el procedimiento. 

Creo que no, pero podrías calcularlo con estas fórmulas:

Muchas gracias!!!

Observa que la expresión de la función es un cociente:

f(x) = e^{x^2}/x =u/v,

donde tienes:

u = e^{x^2}, derivas (observa que debes aplicar la regla de la cadena) y queda: u ' = e^{x^2}*2x,

v = x, derivas y queda: v ' = 1.

Luego, aplicas la regla de derivación para un cociente de funciones y queda:

f ' (x) = ( u ' * v - u * v ' ) / v²,

sustituyes expresiones y queda:

f ' (x) = ( e^{x^2}*2x * x - e^{x^2} * 1 ) / x² = ( 2x²*e^{x^2} - e^{x^2} ) / x² = e^{x^2}*(2x² - 1)/x².

Espero haberte ayudado.

Muchísimas gracias ANTONIO, Me estas salvando el curso de verdad

tu límite= lim(x->1) ∛{[4(x²-1)]/(x-1)} =               lim(x->1) ∛{[4(x-1)(x+1)]/(x-1)} =                lim(x->1) ∛[4(x+1)] =   ∛[4(1+1)]=   ∛8 = 2

Observa que el límite es indeterminado, porque el numerador (N) y el denominador tienden ambos a cero cuando x tiende a uno.

Observa que puedes extraer la raíz cúbica fuera del argumento del límite.

Observa que el numerador de la expresión puede factorizarse:

N = 4x² - 4 = 4(x² - 1) = 4(x + 1)(x - 1).

Luego, observa que la expresión algebraica fraccionaria del argumento puede simplificarse:

(4x² - 4) / (x - 1) = 4(x + 1)(x - 1) / (x - 1) = 4(x + 1).

Luego, puedes plantear para el límite del enunciado:

L = Lím(x→1) ∛( (4x² - 4) / (x - 1) ) = ∛( Lím(x→1) (4x² - 4) / (x - 1) ) = ∛( Lím(x→1) ( 4(x + 1) ) = ∛(8) = 2.

Espero haberte ayudado.

Para el c), iguala a 0 el producto escalar de ambos polinomios.

Muchísimas gracias Antonio no sabes lo agradecido que te estoy por todo lo que me ayudas

f(x)=2e^x+x⁵

Como:

f(-inf) es -inf,

f(-1)<0

f(0)>0 

f(inf) es inf

(( f(x) es estrictamente creciente en todo R ))

Aseguramos la existencia de una única raíz en el intervalo (-1,0) para f(x), o lo que es lo mismo: una única x que verifica 2e^x+x⁵=0

http://www.unicoos.com/video/matematicas/2-bachiller/aplicaciones-de-las-derivadas/teoremas/teorema-de-bolzano-rolle-unica-raiz-de-una-funcion

http://www.vitutor.com/fun/3/c_3.html

http://www.vitutor.com/fun/6/teorema_rolle.html

De manera más formal:

a)http://www.vitutor.com/fun/3/c_3.html

http://www.vitutor.com/fun/6/teorema_rolle.html

b) Aplicando el teorema de Bolzano: como f(x)=2ex+x5 es una función contínua (suma de polinómica y exponencial) y cumple f(-1)<0 y f(0)>0, entonces existe al menos un x que cumple f(x)=0

c) f´(x) = 2ex+5x⁴

Como la derivada no se anula en ningún valor, está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que sólo tiene una raíz real.

Dibuja un triángulo rectángulo con un vértice en e origen, otro vértice en el punto P(-1,2) y el tercer vérticie en el punto A(-1,0).

Observa que el triángulo queda incluido en el segundo cuadrante, para el cuál los ángulos toman valores comprendidos entre 90° y 180°.

Luego, llama α al ángulo determinado por el semieje OX positivo y el segmento que une al origen con el punto P.

Luego, observa que las medidas de los lados del triángulo son:

base: |0A| = 1,

altura|AP| = 2,

hipotenusa: |0P| = √( (- 1)² + 2² ) = √(1 + 4) = √(5).

Luego, tienes para el ángulo α: 

cosα = - |OA|/|OP| = - 1/√(5) = - 1*√(5) / √(5)*√(5) = - √(5) / ( √(5) )² = - √(5)/5;

senα = |AP|/|OP| = 2/√(5) = 2*√(5) / √(5)*√(5) =  2*√(5) / ( √(5) )² = 2*√(5)/5.

Observa que se asigna signo negativo al numerador del coseno porque la base del triángulo está incluida en el semieje OX negativo.

Espero haberte ayudado.

Radio vector 

r = sqrt[x² + y²] = sqrt[(-1)² + 2² ] = sqrt(5)

Por teoría de ángulo en posición normal

Seno = (ordenada ) / (radio vector)

Coseno = (abscisa) / (radio vector)

Como ya tienes el punto del lado terminal ya es directo .

Recuerda que ordenada es segunda componente y abscisa es primera componente.

De manera directa 

Sen@ = 2/sqrt(5)

Cos@ = -1/sqrt(5)

Si racionalizas obtienes lo que allí te muestran

Se me quedó colgado internet mientras enviaba la respuesta, pero lo pesqué a tiempo. 

Hay un error justo antes de la solución de los números impares (del -infinito):  

el exponente es evidentemente 2m+1 (y es precisamente el que hace que -4 elevado a un número impar dé negativo, y éste signo transforma el infinito en menos infinito)