Observa que el segundo factor de la expresión es positivo, por lo que tienes que z toma valores positivos.

Luego, multiplica por 2 en ambos miembros de la ecuación y queda:

2z = √(x² + y²), luego, haces pasaje de raíz como potencia y queda:

4z² = x² + y², divides por 4 en todos los términos de la ecuación y queda:

z² = x²/4 + y²/4,

que es la ecuación de un cono circular recto con vértice en el origen y eje de simetría OZ,

por lo que la ecuación del enunciado corresponde a su mitad superior,

que es un semicono con vértice en el origen y eje de simetría OZ positivo.

Espero haberte ayudado.

Plantea un sistema con estas tres condiciones:

f(1)=1

g(1)=1

f'(1)=g'(1)

Si x debe ser distinto a -y^2, entonces cuando grafiques el dominio tienes que indicar esa parte con línea de puntos, no con trazo continuo porque si es con trazo continuo, se está indicando entonces que f(x,y) puede tomar valores que estan sobre esa parte de la función

Observa que el denominador de la expresión debe ser distinto de cero, como bien has señalado, por lo que el dominio de a función queda: D = R² - { (x,y) ∈ R² / x = - y² }.

Luego, plantea la ecuación general para las curvas de nivel de la función:

f(x,y) = k, con k ∈ R,

luego sustituyes la expresión de la función y queda:

(x² + y)/(x + y²) = k.

a)

Para la curva de nivel que pasa por el punto A(1,-1), reemplazas sus coordenadas y queda:

(1 - 1)/(1 + 1) = k, resuelves el primer miembro y queda: 0 = k,

luego reemplazas en la ecuación remarcada y queda:

(x² + y)/(x + y²) = 0, haces pasaje de divisor como factor y queda:

x² + y = 0, haces pasaje de término y queda:

y = - x²,

que es una parábola con eje OY negativo, en la que debes excluir al origen porque no pertenece al dominio de a función.
b)

Para la curva de nivel que pasa por el punto B(1,0), reemplazas sus coordenadas y queda:

(1 + 0)/(1 + 0) = k, resuelves el primer miembro y queda: 1 = k,

luego reemplazas en la ecuación remarcada y queda:

(x² + y)/(x + y²) = 1, haces pasaje de divisor como factor y queda:

x² + y = x + y², haces pasajes de términos y queda:

x² - x = y² - y, sumas 1/4 en ambos miembros de la ecuación y queda:

x² - x + 1/4 = y² - y + 1/4, factorizas los trinomios cuadrados perfectos en ambos miembros y queda:

(x - 1/2)² = (y - 1/2)², haces pasaje de potencia como raíz y tienes dos opciones:

b₁)

+ (x - 1/2) = y - 1/2, de donde despejas: x = y, 

que es la ecuación de una recta a la que el punto B(1,0) no pertenece;

b₂)

- (x - 1/2) = y - 1/2, de donde despejas: - x + 1 = y, 

Observa (haz un gráfico) que esta recta no pasa por puntos que no pertenecen al dominio de a función.

que es la ecuación de una recta a la que el punto B(1,0) si pertenece.

Espero haberte ayudado.

Si pones t=1/x, te darás cuenta que, para x tiende a +infinito, entonces t tiende a 0. Por ello:

(sin t)/t  tiende a 1.

Sen(1/x)/1/x = 1 porque es un límite notable, si lo que tienes en el argumento del seno es igual a lo que tengas en el denominador, el resultado del límite siempre es 1, aplica también si en vez de seno tienes tangente, o sea, tg(x) / x = 1

Muchas gracias, aunque aun tengo la duda de como realiza el factor común con el valor absoluto, me la podría resolver. 

Lo cierto es que, como x va a +infinito, toma valores positivos, por lo que podríamos olvidarnos del valor absoluto, que solo nos va a despistar.

Muchos Gracias de verdad Profesor :)

profesor disculpe no entendi muy bien ese factor comun x.  me lo podria explicar otra vez pporfa

Cari, redacta adecuadamente tu duda para que te podamos ayudar.

Parábola:

http://www.unicoos.com/video/matematicas/3-eso/funciones-y-graficas/funciones-de-segundo-grado/representacion-funcion-cuadratica

http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/conicas/parabola/parabola-01

http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/conicas/parabola/parabola-02

Inversa:

http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/funciones-y-graficas/composicion-de-funciones/composicion-de-funciones-y-funcion-inversa

Lineal:

http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-eso/funciones-y-graficas/funcion-afin/funcion-afin-01-y-mx-n

http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-eso/funciones-y-graficas/funcion-afin/funcion-afin-02-y-mx-n

Pon foto del enunciado original, Marinés, pues me parece que hay algo mal transcrito.

Hola. El ejercicio está escrito tal cual me lo tomaron en el examen de hoy. 

Y=3 no es un eje, sino un plano.

Z=-4 es otro plano.

El enunciado no es correcto.