Hola Antonio, gracias por la resolucion pero no me queda clara la ultima parte de  los limites en el infinito, si pudieras explicarmela te lo agradezco.

Puedes  considerar una superficie cilíndrica circular de radio r y eje z, cuya ecuación cartesiana es: x² + y² = r².

Puedes considerar el plano OXY, cuya ecuación es: z = 0, como el plano de la base.

Luego, puedes considerar un plano "inclinado" como extensión en la dirección del eje OX de la recta del plano OYZ cuya ecuación es ecuación: z = tanθ*y + r*tanθ (observa que el punto de coordenadas A(0,-r,0) pertenece a este plano, al plano anterior y al cilindro)..

A esta altura de las cosas, es muy conveniente que hagas un gráfico para visualizar mejor la situación.

Luego, tienes el intervalo de integración para la variable z:

0 ≤ z ≤ tanθ*y + r*tanθ,

por lo que puedes comenzar a integrar:

V = ∫∫∫ 1*dz*dx*cy = ∫∫ [ z ]*dx*dy, para evaluar z entre sus límites de integración con la Regla de Barrow,

evaluamos y queda:

V = ∫∫ (tanθ*y + r*tanθ - 0)*dx*dy = ∫∫ (tanθ*y + r*tanθ)*dx*dy (1).

Luego planteamos el cambio a coordenadas polares (observa que las designamos u y v para no confundir con los datos del enunciado.:

x = u*cosv

y = u*senv,,

con el factor de compensación (Jacobiano): |J| = u,

y el recinto de integración (observa que es un disco circular completo de radio r):

0 ≤ u ≤ r

0 ≤ v ≤ 2π,

y la integral señalada (1) queda:

V = ∫∫ (tanθ*u*senv + r*tanθ)*u*du*dv = ∫∫ (tanθ*u²*senv + r*tanθ*u)*du*dv = y puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.

Puedes comenzar por ordenar términos y hacer un pasaje de término y la ecuación queda:

3x² + 12x - 8y² + 16y = - 20,

luego extraes factor común por grupos:

3(x² + 4x) - 8(y² - 2y) = - 20,

luego sumas y restas 4 en el primer agrupamiento, sumas y restas 1 en el segundo agrupamiento, a fin de completar trinomios cuadrados perfectos y queda:

3(x² + 4x + 4 - 4) - 8(y² - 2y + 1 - 1) = - 20,

factorizas los trinomios cuadrados perfectos y queda:

3( (x + 2)² - 4 ) - 8( (y - 1)² - 1 ) = - 20,

distribuyes y queda:

3(x + 2)² - 12 - 8(y - 1)² + 8 = - 20,

haces pasajes de términos y queda:

3(x + 2)² - 8(y - 1)² = - 16,

divides en todos los términos de la ecuación por - 16 y queda:

- (3/16)(x + 2)² + (y - 1)²/2 = 1,

expresas el coeficiente del primer término como divisor ( observa que 3/16 = 1/(16/3) ) y queda:

- (x + 2)²/(16/3) + (y - 1)²/2 = 1,

que es la ecuación canónica de una hipérbola con centro de simetría C(-2,1) y eje focal paralelo al eje OY.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario, no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Supongo que ya sabes integrar y derivar a la perfección para entrar a EDO. Por ello no prolongué la integración.

Sustituye x=0.

Te va a quedar k-2=0

Revisa operaciones:

tan 45º=1

Entonces, la pendiente es=1

Deriva la función:

Iguala la derivada a 1 y resuelve la ecuación correspondiente.