Dados el plaboratorio pi: 2x+y-z+6=0, la recta r: x=y=(z-2)/2 y el punto A (-2,2,1) determina un punto P de la recta r de manera que la recta que pase por los puntos P y A ses paralela al plano pi.
Halla la ecuación de esa recta paralela y la distancia del punto P al plano.
Me podéis ayudar porfavor? 😫😓
El punto P será de la forma P(λ,λ,2λ+2) por pertenecer a r
Sea el vector AP=(λ+2,λ-2,2λ+1)
Sea n(2,1,-1) el vector normal al plano π
para que la recta que pase por los puntos P y A sea paralela al plano π los vectores AP y n deben ser perpendiculares, es decir su producto escalar debe anularse:
AP · n = (λ+2,λ-2,2λ+1) · (2,1,-1)=0 => λ=-1
por lo tanto P=(λ+2,λ-2,2λ+1)=(-1,-1,0)
la ecuación de la recta será:
(x,y,z)=(-2,2,1)+t(1,-3,-1)
y la distancia del punto P al plano π será:
d=(2(-1)+(-1)-(0)+6)/√(22+12+(-1)2)=3/√6=√6/2 u
