Sec^-1(x), y por si acaso la de 1/1-x² es Sen^-1(x)

Vamos con una precisión:

Observa que la expresión de la función a integrar puede escribirse como suma de fracciones parciales:

1 / (x² - 1) = 1 / (x-1)(x+1) = a/(x-1) + b/(x+1) = ( a(x+1) + b(x-1) ) / (x-1)(x+1).

Luego igualamos los numeradores remarcados y queda la igualdad entre polinomios:

a(x+1) + b(x-1) = 1, 

evaluamos para dos valores, por ejemplo x = -1 y x = 1, y quedan las ecuaciones:

- 2b = 1, de donde tenemos: b = - 1/2,

2a = 1, de donde tenemos: a = 1/2.

Luego, tenemos que la expresión de la función a integrar queda:

1 / (x² - 1) = (1/2)*( 1/(x-1) ) - (1/2)*( 1/(x+1) ).

Luego, pasamos a la resolución de la integral de tu enunciado:

I = ∫ 1/(x² - 1) dx = (1/2)  ∫  1/(x-1) dx - (1/2) ∫ 1/(x+1) dx, integramos y queda:

I = (1/2)ln|x-1| - (1/2)ln|x+1| + C, extraemos factor común en los dos primeros términos y queda:

I = (1/2)( ln(x-1) - ln(x+1) ) + C, aplicamos la propiedad del logaritmo de una división y queda:

I = (1/2)ln| (x-1)/(x+1) | + C.

Espero haberte ayudado.

En este video se calcula el área y el volumen. 

En él dan la altura y calculan la apotema, tu tendríais que hacerlo al revés.

Llamamos A(x_a,y_a) y B(x_b,y_b) a los puntos que pertenecen a la parábola, y que determinan un segmento cuyo punto medio es M(0,0).

Luego, como los puntos A y B pertenecen a la parábola, tenemos:

y_a = a² + 7a - 1

y_b = b² + 7b - 1

Luego, recuerda que las coordenadas del punto medio son los promedios de las correspondientes coordenadas de los extremos del segmento, por lo que planteamos:

(a + b)/2 = 0

(y_a + y_b)/2 = 0

Hacemos pasajes de divisores como factores en ambas ecuaciones y queda:

a + b = 0, aquí hacemos pasaje de término y queda: b = - a (1)

y_a + y_b = 0

Sustituimos expresiones en la segunda ecuación y queda:

(a² + 7a - 1) + (b² + 7b - 1) = 0, distribuimos agrupamientos, reducimos términos semejantes y queda:

a² + 7a + b² + 7b - 2 = 0, sustituimos la expresión señalada (1)  y queda:

a² + 7a + (- a)² + 7(- a) - 2 = 0, resolvemos términos y queda:

a² + 7a + a² - 7a - 2 = 0, reducimos términos semejantes (observa que tenemos cancelación de términos opuestos) y queda:

2a² - 2 = 0, hacemos pasaje de término y queda:

2a² = 2, hacemos pasaje de factor como divisor, luego de potencia como raíz, y tenemos dos opciones:

1°) a = - 1, al que corresponde y_a = - 7, b = 1, al que corresponde y_b = 7;

2°) a = 1, al que corresponde y_a = 7, b = - 1, al que corresponde y_b = - 7.

Luego, observa que ambas opciones conducen a los puntos cuyas coordenadas son: (-1,-7) y (1,7).

Espero haberte ayudado.

Sean A(a,b) y B(c,d) los puntos.

Como están en la gráfica de y=x²+7x-1 se cumple que b=a²+7a-1 y que d=c²+7c-1

por lo tanto: 

A(a,a²+7a-1) y B(c,c²+7c-1)

además el punto medio de ambos es (0,0), por lo tanto

(a+c)/2=0 y [(a²+7a-1)+(c²+7c-1)]/2=0 => a+c=0 y a²+7a-1+c²+7c-1=0

resolviendo el sistema:

a+c=0

a²+7a-1+c²+7c-1=0 => a²+c²+7a+7c=2

llegaremos a que a=1 y c=-1 ó a=-1 y c=1

por lo tanto los puntos serán:

(1,7) y (-1,-7)

y como la longitud del segmento AB coincide con la distancia entre ambos puntos

d(A,B)= √(4+196)=√200=10√2 u

Tan^-1(X), es directa

Si la función a integrar tiene la expresión f(x) = 1/(x² + 1), observa que la integral es directa, y que es igual a arctanx + C.

Espero haberte ayudado.

Si

f(x)= [(1+x)/(1-x)]

f´(x)= [(1)(1-x)-(1+x)(-1)] / [1-x²]

f´(x)=      [1-x+1+x]         /   [1-x²]

f´(x)=      2 / [1-x²] 

No da 0 , al menos a mi me dio eso

Sebastian, tomaste 1 como derivada de 1-x...cuando lo correcto es -1

Eso te llevó al resultado erróneo de:

sumar las x y darte error en el denominador: 2x

y restar los "unos" también en el denominador hizo que te diera cero y no pusieras en 2

Llamamos u y x a los sumandos, por lo que tienes:

x + u = 20, de aquí puedes despejar: u = 20 - x (1).

Luego, planteamos la suma de los cuadrados de los sumandos, a la que llamamos y:

S = x² + u², sustituimos la expresión señalada (1) y queda:

y = x² + (20 - x)², desarrollamos el último término, reducimos términos semejantes y queda:

y = 2x² - 40x + 400, que es una ecuación polinómica cuadrática, que gráficamente corresponde a una parábola, 

luego, extraemos factor común entre los términos literales y queda:

y = 2(x² - 20x) + 400, sumamos y restamos 100 en el agrupamiento a fin de obtener un trinomio cuadrado perfecto y queda:

y = 2(x² - 20x + 100 - 100) + 400, factorizamos los términos remarcados y queda:

y = 2( (x - 10)² - 100 ) + 400, dsitribuimos y queda:

y = 2(x - 10)² - 200 + 400, reducimos términos numéricos y queda:

y = 2(x - 10)² + 200;

que es la ecuación canónica de de una parábola (observa que se abre hacia OY positivo, porque su coeficiente principal es 2, y es mayor que cero), con eje de simetría paralelo al eje OY,

cuyo vértice es el punto de coordenadas V(10, 200).

Luego, los valores críticos son: x = 10, e y = 200,

luego, reemplazamos en la expresión señalada (1) y queda: u = 20 - 10 = 10.

Luego, los valores que minimizan la suma de los cuadrados son x = 10, y también u = 10,

y la suma de cuadrados mínima es y = 200.

Espero haberte ayudado.

Cuando sea el límite por la izquierda el valor de equis lo puedes sustituir en tu calculadora por -0.00000001

Cuando sea el límite por la derecha el valor de equis lo puedes sustituir en tu calculadora por 0.00000001

Efectivamente al estar al cuadrado siempre será positiva y será continua en todo R

para calcular los extremos (máximos y mínimos) debes derivarla e igualarla a cero

para los puntos de corte con el eje horizontal debes igualarla a cero

para el punto de corte con el eje vertical debes calcular f(0)

Hazlo y si tienes dudas vuelves a preguntar

x^2 puede valer -1 si consideras números complejos, pero como se suelen considerar únicamente números reales, x^2+1 siempre va a ser positiva ya que los cuadrados de numeros reales son positivos