Polinomios multilineales limitados a cero cuando todas pero una variable tienen el mismo valor
Considere un polinomio de N variables, p (x1, ..., xn), restringido como sigue:
- Es multilineal - no ocurre ninguna variable a una potencia de 2 o superior
- Cualquier
función gi (y, z) definida por la evaluación de p con xi = y y xj = z para
todo j ≠ i, la función gi es idénticamente cero
Mi pregunta:
¿Existe una manera de elaborar una forma general para tales polinomios?
Mis intentos que no valen la pena leer.
Para N = 2 obviamente p = 0 es la única solución.
Escribir la función como 2N términos:
Aquí cada ai1, i2, ..., in es una constante real valorada.
Los términos de grado N,
N-1,1, o 0 serán los términos únicos yzn-1, zn-1, y, y constante,
respectivamente, para al menos una de las restricciones gi (y, z). Así que para que todo gi sea cero, estos términos deben ser cero en p.
Esto significa que f = 0 es la única solución para N = 3 también.
Trabajé a través de N = 4 a mano, y parece que un f no-cero es finalmente posible aquí.
Para N = 4 los términos del grado dos permanecen después de las consideraciones anteriores. Etiquetándolos por conveniencia:
Las restricciones son entonces
que parecen reducirse a estos:
Lo que hace que la solución general para N = 4:
Desafortunadamente
no aprendí mucho de ese ejercicio y no estoy seguro de cómo obtener una
forma más general que incluya mayor tamaño.
