Tienes la gráfica de la posición como función del tiempo,

y observa que es creciente en el intervalo Δt₁ = (0,70s),

que es constante en el intervalo Δt₂ = (70s,90s),

y que es decreciente en el intervalo Δt₃ = (90s,110s).

Luego, planteas las expresiones de los desplazamientos para cada intervalo, y queda:

Δx₁ = x(70) - x(0) = 160m - 20m = 140m (observa que el carrito ha avanzado 140 metros),

Δx₂ = x(90) - x(70) = 160m - 160m = 0 (observa que el carrito ha permanecido en reposo),

Δx₃ = x(110) - x(90) = 130m - 160m = -30m (observa que el carrito ha retrocedido 30 metros).

Luego, planteas las expresión de la distancia recorrida en cada intervalo (recuerda que es igual al valor absoluto del desplazamiento: d = |Δx|), y tienes:

d₁ = |Δx₁| = |140m| = 140m (el carrito ha recorrido 140 metros durante su avance),

d₂ = |Δx₂| = |0| = 0 (el carrito no ha recorrido distancia alguna durante su descanso),

d₃ = |Δx₃| = |-30m| = 30m (el carrito ha recorrido 30 metros durante su retroceso);

luego, planteas la expresión de la distancia total recorrida, y queda:

d = d₁ + d₂ + d₃ =140m + 0 + 30m = 170m.

Espero haberte ayudado.

Observa que el periodo orbital terrestre es un año, y que la distancia que separa a la Tierra del Sol es una unidad astronómica (aquí consideramos que esta es la longitud del semieje mayor de la órbita terrestre).

Luego, aplicas la Tercera Ley de Kepler (observa que el cometa Halley y la Tierra orbitan ambos alrededor del Sol, y tienes la ecuación:

T_c²/a_c³ = T_T²/a_T³,

y de aquí despejas:

a_c = ∛(T_c²/T_T²)*a_T;

luego, reemplazas datos (T_c = 75 años, T_T = 1 año, a_T = 1 UA), y queda:

a_c = ∛(75²/1²)*1,

resuelves, y queda:

a_c = ∛(5625) UA ≅ 17,7845 UA.

Luego, observa que tienes en tu enunciado el valor del perihelio de la órbita del comenta, que es igual a la diferencia entre la longitud del semieje mayor de su órbita y la longitud de su semieje focal, por lo que puedes plantear la ecuación:

d_ph = a_c - c_c, 

y de aquí despejas:

c_c = a_c - d_ph = ∛(5625) - 0,5716 ≅ 17,7485 - 0,5716 ≅ 17,1769 UA,

que es la longitud del semieje focal de la órbita del cometa.

Luego, planteas la condición de afelio como la suma de la longitud del semieje mayor orbital y de la longitud de su semidistancia focal, y queda:

d_af = a_c + c_c ≅ 17,7845 + 17,1769 ≅ 34,9614 UA.

Espero haberte ayudado.

a)

La única fuerza que actúa sobre la sonda sería la de gravitación que esta dirigida hacia el centro de Plutón. 

La magnitud de esta fuerza viene dada por la ecuación: 

F_g = (G*m_sonda*m_plutón)/r² 

Donde G = 6.67x10^-11 N*m²/kg² 

Y "r" es la distancia desde la sonda hasta el centro de Plutón. Ósea: 

r = h + R_plutón 

Donde "h" es la altura a la que está la sonda con respecto a la superficie de Plutón. 

Reemplazando "r" en la ecuación de fuerza: 

F_g = (G*m_sonda*m_plutón)/(h + R_plutón)² 

De esta ecuación conocemos todos los datos. Entonces solo debemos pasar ciertos datos a unidades pertinentes al SI.

h = 12500 km (1000 m/1 km) = 12.5x10⁶ m

R_plutón = 1185 km (1000 m/1 km) = 1.185x10⁶ m

Y ahora reemplazando en la ecuación de fuerza damos con la respuesta. 

F_g = (6.67x10^-11*478*1.25x10²²)/(12.5x10⁶ + 1.185x10⁶)² 

F_g = 2.1280 N

b) 

Si aplicamos la segunda ley de newton a la sonda tenemos que: 

∑F = m_sonda*a_c 

Donde "a_c" seria la aceleración centrípeta. Del movimiento circular recordemos que: 

a_c = v²/r

Reiterando que en la sonda solo actúa la fuerza gravitacional, la segunda ley de newton nos quedaría: 

F_g = m_sonda*(v²/r)

Y de aquí despejamos para "v". 

v²/r = F_g/m_sonda 

v² = (F_g*r)/m_sonda 

v = √[(F_g*r)/m_sonda]

v = √{[F_g*(h + R_plutón)]/m_sonda}

Reemplazando datos damos con la respuesta. 

v = √{[2.1280*(12.5x10⁶ + 1.185x10⁶)]/478}

v = 246.828 m/s

Le hace falta información a la densidad de la bola. Podría ser kg/cm³, g/cm³, etc. Acláranos. 

Tienes los datos:

V = 0,24 L = 0,24 dm³ = 0,000240 m³ (volumen de la bola),

δ_b = 7,9 g/cm³ = 7,9*0,001/0,000001 = 7900 Kg/m³ (densidad de masa del acero),

δ_a = 1 g/cm³ = 1000 Kg/m³ (densidad de masa del agua),

g = 9,8 m/s² (módulo de la aceleración gravitatoria terrestre).

Luego, planteas la expresión del módulo del peso de la bola de acero, y queda:

P_b = δ_b*V*g = 7900*0,000240*9,8 = 18,5808 N.

Luego, planteas la expresión del módulo del empuje que ejerce el agua sobre la bola, y queda:

E = δ_a*V*g = 1000*0,000240*9,8 = 2,352 N.

Luego, establece un sistema de referencia con eje de posiciones OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y la expresión de la fuerza resultante queda:

F_R = -P + E = -18,5808 + 2,352 = -34,8096 N,

y observa que el signo negativo indica que su sentido es hacia abajo.

Espero haberte ayudado.

Derivamos dos veces con respecto al tiempo la ecuación de posición del cuerpo para obtener la ecuación de aceleración. 

a= d²/dt² [r] = d²/dt² [3*t² i - 2*t j + 5 k] = 6 m/s² i 

Ahora aplicamos la segunda ley de newton para hallar la respuesta. 

∑F = m*a

F = m*a

F = 5*(6 i)

F = 30 N i

Determinamos el tiempo que demora m₂ en recorrer la distancia vertical A/2. 

Para ello aplicamos la ecuación pertinente a un movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

Recordemos que este análisis es respecto al eje "y". Por tanto habrá que descomponer la velocidad en este eje. 

y = v₂*Cos(α)*t = A/2

t = (A/2)/(v₂*Cos(α))

t = (0.8/2)/(1.5*Cos(15º))

t = 0.2761 s

Ahora utilizando este tiempo podemos saber que distancia horizontal recorre m₂ antes de chocar con m₁. 

Utilizamos también ecuación para un MRU. Igual para este eje hay que descomponer la velocidad. 

x = v₂*Sin(α)*t

x = 1.5*Sin(15º)*0.2761

x = 0.1072 m

Ahora planteamos la conservación de la cantidad de movimiento "p" en ambos ejes.

Quiere decir que la cantidad de movimiento horizontal antes y después del choque es la misma.

Lo mismo podemos decir para el movimiento vertical.

Recordando que: p = m*v

Eje horizontal ("x"): 

p_inicial = p_final 

m₁*v₁ + m₂*v₂ = m₁*v₁' + m₂*v₂' 

v₂ tenemos que descomponerla en su componente horizontal. 

Lo mismo debemos hacer con v₂' y v₁', donde esta última no sabemos el ángulo con el que sale después del choque.

Le asignamos una incógnita a este ángulo, θ. Además de suponerlo que esta con respecto al eje "x". 

Dicho esto, nos quedaría: 

m₁*v₁ + m₂*v₂*Sin(α) = m₁*v₁'*Cos(θ) + m₂*v₂'*Cos(β)

Dados que las masas m₁ y m₂ son iguales, se simplifican todas de la ecuación anterior.

v₁ + v₂*Sin(α) = v₁'*Cos(θ) + v₂'*Cos(β)

Tenemos una ecuación con dos incógnitas. Debemos ahora plantear la conservación de cantidad en el otro eje. 

Eje vertical ("y"): 

p_inicial = p_final  

m₁*v₁ + m₂*v₂ = m₁*v₁' - m₂*v₂' 

Aquí v₁ = 0 porque no hay movimiento de esta masa en este eje. 

v₂ debemos descomponerla a su componente vertical. Lo mismo con v₂' y v₁'. Queda: 

m₂*v₂*Cos(α) = m₁*v₁'*Sin(θ) - m₂*v₂'*Sin(β) 

Como ya mencionamos, las masas se eliminan debido a que son iguales.

v₂*Cos(α) = v₁'*Sin(θ) - v₂'*Sin(β) 

Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas en común, θ y v₁'. Reemplazamos los datos que tenemos en ambas: 

v₁ + v₂*Sin(α) = v₁'*Cos(θ) + v₂'*Cos(β)   →   1.5 + 1.5*Sin(15º) = v₁'*Cos(θ) + 1.3*Cos(60º) 

v₂*Cos(α) = v₁'*Sin(θ) + v₂'*Sin(β)    →   1.5*Cos(15º) = v₁'*Sin(θ) - 1.3*Sin(60º)

Resolviendo este sistema por cualquier método algebraico conocido obtenemos que: 

v₁' = 2.8570 m/s 

θ = 64.3167º 

Finalmente podemos decir que m₁ después del choque tendrá las siguientes componentes de velocidad: 

v_x = v₁'*Cos(θ) = 2.8570*Cos(64.3167º) = 1.2382 m/s

v_y = v₁'Sin(θ) = 2.8570*Sin(64.3167º) = 2.5747 m/s

Y como estamos hablando de MRU, mantendrán estas velocidades constantes en sus respectivos ejes. 

Planteamos la ecuación de posición para m₁ con la siguiente forma: 

x = x_o + v_x*t

y = y_o + v_y*t

Donde "x_o" y "y_o" son las posiciones justo cuando se da el choque.

La "x_o" seria la suma de la distancia L/2 (distancia recorrida antes de tirar a m₂) más la distancia que recorre cuando ya se tira m₂. 

Esta última distancia ya la hemos calculado al inicial del problema. Entonces: 

x_o = L/2 + x = 1.4/2 + 0.1072 = 0.8072 m

Y la "y_o" sale a simple vista viendo la imagen.

y_o = A/2 = 0.8/2 = 0.4 m

Reemplazando valores ahora en las ecuaciones de posición damos con la respuesta al problema. 

x = 0.8072 + 1.2382*t

y = 0.4 + 2.5747*t

a) 

Aplicamos directamente la ecuación que nos brinda el alcance máximo de un proyectil en función de la velocidad inicial y el ángulo. 

Dicha ecuación se puede deducir. Para este caso, omito su demostración.

Dicho esto: 

x_maximo = [v_o²*Sin²(θ)]/g 

Reemplazando los datos obtenemos que: 

x_maximo = [10²*Sin²(45º)]/9.81

x_maximo = 5.0968 m 

Como podemos ver:

5.0968 m < 8 m

Con lo que podemos afirmar que la piedra no podrá atravesar el rio. 

b) 

Al igual que el inciso anterior, acá podemos aplicar directamente la ecuación que da la altura máxima en función de la velocidad inicial y el ángulo. 

Y es esto lo que haremos. Omitimos nuevamente la demostración. 

Entonces: 

y_maxima = [v_o²*Sin²(θ)]/2g

Reemplazando los datos obtenemos que: 

y_maxima = [10²*Sin²(45º)]/2*9.81

y_maxima = 2.5484 m

c) 

En este punto la piedra solo tendrá velocidad en el eje horizontal. No hay movimiento vertical en este punto.

Cabe decir que la velocidad en este eje horizontal es constante en toda la trayectoria.

Quiere decir que la componente horizontal inicial se mantendrá igual. Dicho esto: 

v_x = v_o*Cos(θ) 

v_x = 10*Cos(45º)

v_x = 7.0711 m/s

d) 

Justo antes de llegar al suelo, la magnitud de la velocidad será igual ha la que tenía cuando salío.

Ósea: 

v_f = 10 m/s

Esta velocidad la podemos descomponer en sus componentes antes de llegar al suelo si deseas. 

La componente horizontal antes de llegar al suelo ya sabemos cuanto vale. La calculamos en el inciso c)

v_fx = v_x = 7.0711 m/s

v_fx = 7.0711 m/s

Y la componente vertical antes de llegar al suelo será igual a la componente vertical justo cuando se lanzó la piedra solo que con signo contrario. 

v_fy = - v_oy = - v_o*Sin(θ)

v_fy = - 10*Sin(45º)

v_fy = - 7.0711 m/s

La suma vectorial de las componentes debe darte igual a la velocidad final, 10 m/s. 

Pasamos la energía cinética máxima (o critica) a electrón volt (eV).

Recordamos que: 1 eV = 1.6022x10^-19 J

Dicho esto: 

K_maxima = 1.38x10^-19 J (1 eV/1.6022x10^-19 J) = 0.8613 eV

Determinamos la energía total "E" por medio de la ecuación que relaciona la longitud de onda (de corte) y el producto de la constante de planck y la velocidad de la luz. Dicha ecuación es: 

E = (h*c)/λ

Recuerda que el producto "h*c" se suele aproximar a un valor de 1240 eV*nm. Entonces: 

E = 1240/400 = 3.1 eV

Teniendo este valor, la función de trabajo "Φ" seria: 

Φ = E - K_maxima = 3.1 - 0.8613 = 2.2387 eV

Finalmente, la frecuencia mínima la podemos hallar con la siguiente expresión:

ƒ = Φ/h

Donde "h" como ya hemos mencionado es la constante de planck, con valor de 6.626x10^-34 J*s

ƒ = 2.2387/6.626x10^-34 = 3.3787x10³³ eV/J*s

Como: 1 eV = 1.6022x10^-19 J

ƒ = 3.3787x10³³ eV/J*s (1.6022x10^-19 J/1 eV)

ƒ = 5.4133x10¹⁴ Hz

Planteamos la ecuación de movimiento para el balón. Esta será el tipo MRUA. Se coloca su forma: 

x = x_o + v_o*t + 0.5*a*t² 

Si planteamos la referencia en el jugador 12, tenemos que el balón tendrá una posición inicial de: 

x_o = 10 m 

Además el problema nos da la velocidad inicial y la desaceleración. Pasamos la primera a unidades acordes al SI. 

v_o = 27 km/h (1000 m/1 km)*(1 h/3600 s) = 7.5 m/s

Y ahora reemplazando estos datos en la ecuación de posición: 

x_balón = 10 + 7.5*t + 0.5*-2*t² 

x_balón = 10 + 7.5*t - t² 

Ahora planteamos la ecuación de movimiento para el jugador 12. Este tendrá su ecuación de la forma MRU que sería:

x = x_o + v*t 

Como la referencia esta en este jugador, su posición inicial es cero (x_o = 0).

El problema nos da la velocidad constante de este jugador. Pasamos esta velocidad a unidades del SI. 

v = 36 km/h (1000 m/1 km)*(1 h/3600 s) = 10 m/s

Reemplazando en la ecuación de posición: 

x_jugador = 0 + 10*t

x_jugador = 10*t

Ahora sabemos que cuando el jugador alcance el balón, sus posiciones serán iguales.

Quiere decir que podemos igualar las ecuaciones de posiciones para hallar el tiempo de encuentro.

x_balón = x_jugador 

10 + 7.5*t - t² = 10*t

t² + 2.5*t - 10 = 0

Tenemos una ecuación cuadrática. Resolviendo por cualquier método algebraico y omitiendo toda solución negativa obtenemos que: 

t = 2.1504 s

Que sería el tiempo que demora el jugador 12 en alcanzar el balón. 

Finalmente la distancia que recorre este jugador se obtiene reemplazando el tiempo obtenido en la ecuación de posición de dicho jugador. 

x_jugador = 10*t = 10*2.1504

x_jugador = 21.504 m

La energía potencial entre dos cargas puntuales viene dada por la ecuación: 

U = (k_e*q*q')/r

Entonces lo que debemos hacer es calcular la energía potencial inicial (con r = 2 m) y la final (con r = 4 m). 

Una vez hecho esto, restamos final menos inicial para dar con la respuesta. 

En el vacío: k_e = 8.99x10⁹ N*m²/C² 

Energía potencial inicial: 

U_o = (8.99x10⁹*3x10^-6*-6x10^-6)/2 

U_o = - 0.0809 J

Energía potencial final: 

U_f = (8.99x10⁹*3x10^-6*-6x10^-6)/4

U_f = - 0.0405 J

Finalmente la variación será: 

ΔU = U_f - U_o = - 0.0405 - (- 0.0809)

ΔU = 0.0404 J