Plantea un sistema de referencia OXY con eje OX horizontal, con sentido positivo acorde al movimiento del misil, y eje OY vertical, con sentido positivo hacia arriba, y considera como instante inicial (ti = 0) al que corresponde al lanzamiento del misil (consideramos que el módulo de la aceleración gravitatoria terrestre es g = 10 m/s2).
A)
Planteo con consideraciones cinemáticas:
plantea las ecuaciones de Tiro Oblicuo (o Parabólico, y observa que reemplazamos los datos que tienes en el enunciado):
x = 400*cos(40°)*t
y = 400*sen(40°)*t - 5*t2
vx = 400*cos(40°) (constante)
vy = 400*sen(40°) - 10*t.
Luego, plantea la condición de altura máxima:
vy = 0, sustituyes y queda:
400*sen(40°) - 10*t = 0, y de aquí despejas 40*sen(40°) = t,
luego reemplazas en la ecuación de posición vertical, y queda la expresión de la altura máxima:
yM = 400*sen(40°)*40*sen(40) - 5*1600*sen2(40°) = 16000*sen2(40°) - 8000*sen2(40°) = 8000*sen2(40°),
y observa que las componentes de la velocidad en este punto quedan:
vMx = 400*cos(40°) = 400*cos(40°),
vMy = 400*sen(40°) - 10*40*sen(40°) = 400*sen(40°) - 400*sen(40°) = 0,
y observa que la posición horizontal correspondiente al punto de altura máxima queda:
xM = 400*cos(40°)*40*sen(40°) = 16000*cos(40°)*sen(40°).
Planteo con consideraciones energéticas:
Plantea la Energía Mecánica Inicial:
EMi = ECi + EPi = (1/2)*M*4002 + M*10*0 = 80000*M + 0 = 80000*M;
luego, plantea la Energía Mecánica en el punto de altura máxima:
EMM = ECM + EPM =
= (1/2)*M*(vMx2 + vMy2) + M*g*yM = (1/2)*M*(160000*cos2(40°) + 0) + M*10*yM = 80000*cos2(40°)*M + M*10*yM,
luego, por conservación de la energía mecánica tienes:
EMM = EMi, sustituyes expresiones, y queda:
80000*cos2(40°)*M + M*10*yM = 80000*M,
divides en todos los términos por 10*M, y queda:
8000*cos2(40°) + yM = 8000,
haces pasaje de término, extraes factor común en el segundo miembro, aplicas indentidad trigonométrica, y queda:
yM = 8000*( 1 - cos2(40°) ) = 8000*sen2(40°).
B)
Para estudiar la explosión en el punto de altura máxima, observa que el misil tiene velocidad horizontal, y plantea su cantidad de movimiento (impulso) antes de la explosión:
pAx = M*vMx = M*400*cos(40°);
luego, plantea el impulso después de la explosión:
PDx = (1/3)*M*vDx + (2/3)*M*0 = (1/3)*M*vDx + 0 = (1/3)*M*vDx;
luego, como no actúan fuerzas exteriores en la dirección de movimiento, tienes conservación del impulso, y plantea:
pDx = pAx, sustituyes expresiones, y queda:
(1/3)*M*vDx = M*400*cos(40°), multiplicas en ambos miembros de la ecuación por 3/M y queda:
vDx = 1200*cos(40°),
que es el módulo de la componente horizontal de la velocidad del trozo más liviano luego de la explosión del misil.
Luego, para estudiar el movimiento del fragmento más pesado, plantea las ecuaciones de Caída Libre:
x = xM
y = yM - 5*t2
vx = 0 (el fragmento no se desplaza en la dirección horizontal)
vy = - 10*t,
luego, como el fragmento cae verticalmente, tienes que la posición de llegada al suelo es:
xM = 16000*cos(40°)*sen(40°).
Luego, para estudiar el movimiento del fragmento más pesado, plantea las ecuaciones de Tiro Oblícuo:
x = xM + vDx*t
y = yM - 5*t2
vx = vDx (constante)
vy = - 10*t,
luego, queda que reemplaces valores, plantees la condición de llegada al nivel del suelo (y = 0), despejes el valor del
instante correspondiente, y evalúes la posición horizontal (te dejo la tarea).
C)
La trayectoria del centro de masas del misil será la que correspondería al misil si no hubiera explotado, y para describirla, puedes plantear las ecuaciones de Tiro Oblicuo:
x = 400*cos(40°)*t
y = 400*sen(40°)*t - 5*t2
vx = 400*cos(40°) (constante)
vy = 400*sen(40°) - 10*t;
luego, queda que plantees la condición de llegada al nivel del suelo (y = 0), despejes el valor del
instante correspondiente, y evalúes la posición horizontal (te dejo la tarea).
Espero haberte ayudado.