Equilibrio térmico

La idea es que hagas preguntas concretas, y no un folio con ejercicios, la dinámica de la rotación es un tema propio de física de universidad que como excepción el profe grabó algunos vídeos, pero poco mas puedo ayudarte

Momento de inercia

El coche parte del reposo, su energía cinética E_c  es 0.  Y por lo tanto, la energía mecánica E_m inicial es igual a la energía potencial gravitatoria E_pg :

E_m = E_pg = mgh = Ph = 13000*10 = 130000 = 130 kJ = 130*10³ J

Como no hay perdidas de energía en el recorrido, el auto chocará contra el resorte con una energía cinética E_c igual a 130kJ

La energía potencial elástica E_pk acumulada por un resorte lineal es: E_pk = ½kx²   donde k es la constante elástica y x es la deformación. La deormacion maxima del resorte sucederá cuando toda la energía del auto se convierta en energía potencial elástica. Entonces:

E_pk = ½kx² = 130*10³ => x² = 2*130*10³ /10⁶ = 260*10^(3-6) = 260*10^-3 = 0.260 => x = √0.26 = 0.51 m

Ecuaciones del movimiento.     y(t) = ½gt² + v₀ t + y₀     y   v(t) = gt + v₀

Estas ecuaciones de movimiento consideran los valores con subindice 0 en t = 0. Aquí tenemos dos movimientos que comienzan en tiempos distintos y para las formulas hay que considerar que ambos movimientos comienzan en 0.

Digamos que tenemos dos cronómetros, t₁ y t₂ , uno para el primer y el segundo movimiento respectivamente. Entonces:

y₁(t₁) = ½gt₁² + v₀ t₁ + y₀       y      y₂(t₂) = ½gt₂² + v₀ t₂ + y₀    Para que el cronometro t₂ marque 0 cuando t₁ = 4  debe cumplirse que: t₂ = t₁ - 4

Y podemos escribir el segundo movimiento en términos de t₁ como y₂(t₁) = ½g(t₁- 4)² + v₀ (t₁ - 4) + y₀ 

A partir de ahora llamemos a t₁ simplemente t, y sustituyamos las constantes  g = -9.8,   v₀ = 100    y₀ = 0

y₁(t) = -4.9t² + 100t      y     y₂(t) = -4.9(t- 4)² + 100(t - 4)       Desarrollamos la expresión de y₂(t):

y₂ (t) = -4.9(t² -8t +16) + 100t - 400 = -4.9t² + 39.2t -78.4 + 100t - 400 = -4.9t² +139.2t - 478.4 

Apartado a) Se encontraran cuando y₁(t) = y₂(t)   Entonces:

 -4.9t² + 100t = -4.9t² +139.2t - 478.4 => 100t = 139.2t -478.4 => 139.2t - 100t = 478.4 => 39.2t = 478.4 => t = 478.4/39.2 = 12.2 s 

Apartado b) Hallamos  y(12.2) en cualquiera de las 2 ecuaciones.

y₁(12.2) = -4.9(12.2)² + 100(12.2) = -729.3 + 1220 = 490.7 m 

Apartado c) Hallamos las velocidades en t = 12.2.

v₁(12.2) = -9.8*12.2 + 100 = -19.6 m/s

v₂(12.2) = -9.8(12.2 - 4) + 100 = 19.6 m/s

Si no se entendió bien y sabes integrar avísame que lo planteo de otro modo.

Planteas la expresión del producto escalar de los vectores, en función de sus módulos y del ángulo comprendido entre ellos, y queda:

|A|*|B|*cosθ = A•B;

luego, divides en ambos miembros por el módulo del vector que determina la dirección de la proyección, y queda:

|A|*cosθ = A•B / |B| (1).

Luego tienes que la expresión de la proyección del vector A sobre la dirección determinada por el vector B es:

A_B = |A|*cosθ,

sustituyes la expresión señalada (1) en el primer miembro, y queda:

A_B = A•B / |B| (2).

Luego, tienes los datos:

A = < 1 , -2 >,

B = < 4 , -4 >;

por lo que el producto escalar entre ellos queda:

A•B = < 1 , -2 > • < 4 , -4 > = 1*4 + (-2)*(-4) = 4 + 8 = 12 (3),

y el módulo del vector que determina la dirección queda:

|B| = √( 4² + (-4)² ) = √(32) = 4*√(2) (4).

Luego, reemplazas los valores señalados (3) (4) en la ecuación señalada (2), y queda:

A_B = 12 / 4*√(2), simplificas, y queda:

A_B = 3/√(2), multiplicas la numerador y al denominador de la expresión por √(2), y queda:

A_B = 3*√(2)/2.

Espero haberte ayudado.

Definición según mi física general:

El momento cinético L es: L = Iω      Donde I es el momento de inercia respecto al eje de giro, y ω la velocidad angular.

Y aclara:

"Aunque en este caso especial de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo, el momento cinético es igual a Iω, no es ésta la definición general de esta magnitud".

Una definición mas general es: L = r x p   Producto vectorial. donde p es la cantidad de movimiento mv, y r es el vector posición respecto a un punto (o eje) de giro.

Aplicas la expresion del MRU:

Movimiento Rectilineo Uniforme MRU

Al tener dos dimensiones este movimiento puedes demostrar que la velocidad en la componente Y es cuadrática

No entendí esa parte de la velocidad es la componente Y es cuadrática

No se tiene en cuenta la posición inicial r₀ = (x₀ , y₀) ?

Las parametricas del movimiento serian:

x(t) = x₀ + v₀ cos (θ) t

y(t) = y₀ + v₀ sen (θ) t + ½gt2   

Nota que la formula es + ½gt² . Si g está en dirección opuesta al crecimiento de y => g = - 9.8, y cuando sustituyes por el valor de g, recién ahí aparece el -

Y nota también que he cambiado los subindices i por 0. Un sutil tecnicismo, y es que esas formulas son así cuando hallamos las constantes de integración para t = 0

El vector posición r(t) seria: r(t) = (x₀ + vi cos (θ) t , y₀ + vi sen (θ) t + ½gt2 )      o      r(t) = (x₀ + vi cos (θ) t)i + vi sen (θ) t + ½gt2)j

El apartado b es un poco bastante pesado en cuanto a las cuantas. Revisa paso por paso lo que sea que haga y corrígeme si me equivoco en algo.

La idea es demostrar que la función de trayectoria y(x) se puede expresar como una función del tipo y(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes reales.

Mucho mas fácil sería si la posición inicial es: r₀ = (0, 0). Pero si vamos a entrar en el embrollo, entremosle con fuerza y con toda la generalización.

Primero hallamos y(x) a partir de las parametricas. Despejamos t de la función x(t) y tenemos que t(x) = (x - x₀)/(v₀ cos(θ)).

Y sustituimos en la función y(t) => y(t(x)) = y(x) = ½g((x - x₀)/(v₀ cos(θ)))² + v₀sen(θ)((x - x₀)/(v₀ cos(θ))) + y₀    ec (0)

Dividamos la suma por partes y desarrollemos las expresiones. La idea es desarrollar y separar los términos según el grado de la x

(1) ½g((x - x₀)/(v₀ cos(θ)))² = ½g (x- x₀)² / (v₀ cos(θ))² = ½g (x² -2xx₀ + x₀²)/(v₀ cos(θ))²  = (½gx² - gxx₀ + ½gx₀² )/(v₀ cos(θ))² =

        = (½gx² )/(v₀ cos(θ))² + (- gxx₀)/(v₀ cos(θ))² + ½gx₀² + (½gx₀² )/(v₀ cos(θ))²  = g/2((v₀ cos(θ))²)  x²  + (-gx₀)/(v₀ cos(θ))²) x + (½gx₀² )/(v₀ cos(θ))²  

(2) v₀sen(θ)((x - x₀)/(v₀ cos(θ)) = (v₀sen(θ)x - v₀sen(θ)x₀)/(v₀ cos(θ)) = (v₀sen(θ)/(v₀ cos(θ)) x  -  v₀sen(θ)x₀/(v₀ cos(θ)) = tg(θ)x - tg(θ)x₀  

(3) y₀ . Felizmente, el ultimo termino de (0) es un inofensivo y₀ 

La ecuación (0) es la suma de a lo que hemos llegado en (1), (2) y (3). Tomemos de cada ecuación los términos que contengas las x del mismo grado y extraemos factor común a las x.

(1a)  g/(2((v₀ cos(θ))²)  x²                              =>    g/2((v₀ cos(θ))²)  x² 

(2a)  (-gx₀)/(v₀ cos(θ))²) x + tg(θ)x               =>   (tg(θ) - gx₀/(v₀ cos(θ))²) x

(3a)   (½gx₀² )/(v₀ cos(θ))²  - tg(θ)x₀  + y₀    =>   (½gx₀² )/(v₀ cos(θ))²  - tg(θ)x₀  + y₀ 

Y si tenemos que g, v₀ , θ, x₀ e y₀ son constantes. Entonces:

 g/2((v₀ cos(θ))²)                                es constante  y le podemos llamar a

 (tg(θ) - gx₀/(v₀ cos(θ))²)                   es constante  y le podemos llamar b

(½gx₀² )/(v₀ cos(θ))²  - tg(θ)x₀  + y₀  es constante  y le podemos llamar c

Luego, y(x) de puede expresar como y(x) = ax² + bx + c      con a, b y c... pues esas expresiones que dependen de g, v₀ , θ, x₀ e y₀

Revisa paso a paso y trata de hacerlo en papel, veras que es mas fácil de verlo y ordenarlo que en una computadora.Y en todos los θ que te encuentres mejor ponle un θ₀ indicando que se refiere específicamente al angulo de salida y por tanto estamos hablando de una constante.
Y nota como el termino v0 cos(θ) lo arrastramos durante todo el razonamiento. Puedes llamarle C por ejemplo, C = v0 cos(θ), e intercambiar uno por otro según convenga en el razonamiento.

Ok entiendo muchas gracias.

Intentaré hacerlo suponiendo que  r0 = (0, 0).

Equilibrio térmico

Para eso tienes estos videos