Observa que tienes la expresión de la función a optimizar:

f(x,y,z) = x + y + z, que e una función diferenciable en R³, cuyo vector gradiente queda expresado: 

∇f = < 1 , 1 , 1 >.

Observa que la ecuación implícita de la primera restricción es: x² + y² - 2 = 0,

que es una superficie de nivel de la función cuya expresión es: g(x,y,z) = x² + y² - 2, cuyo vector gradiente queda expresado:

∇g = < 2x , 2y , 0 >.

Observa que la ecuación implícita de la segunda restricción es: x + z - 1 = 0,

que es una superficie de nivel de la función cuya expresión es: h(x,y,z) = x + z - 1, cuyo vector gradiente queda expresado:

∇h = < 1 , 0 , 1 >.

Luego, observa que con las dos ecuaciones de las restricciones queda definida una superficie cerrada y acotada (cuya forma es disco elíptico).

Luego, tienes que se cumplen todas las condiciones para plantear el Método de los Multiplicadores de Lagrange, por lo que puedes plantear el sistema de ecuaciones (observa que la primera ecuación es vectorial, y que indicamos con a y b a los multiplicadores):

∇f = a*∇g + b*∇h,

g(x,y,z) = 0,

h(x,y,z) = 0.

Luego, sustituyes expresiones, descompones la ecuación vectorial componente a componente, y queda el sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas:

1 = 2a*x + b,

1 = 2a*y,

1 = b,

x² + y² - 2 = 0,

x + z - 1 = 0.

Luego, reemplazas el valor remarcado en las demás ecuaciones (en realidad solo en la primera), cancelas términos numéricos en la primera ecuación, y queda:

0 = 2a*x,

1 = 2a*y,

x² + y² - 2 = 0,

x + z - 1 = 0.

Luego, por anulación de un producto tienes dos opciones en la primera ecuación:

1)

a = 0, 

luego reemplazas en la segunda ecuación, y queda:

1 = 0, que es una identidad falsa, por lo que tienes que esta opción no conduce a punto críticos;

2)

x = 0,

reemplazas el valor remarcado en las demás ecuaciones (en realidad solo en las dos últimas), y queda:

1 = 2a*y,

y² - 2 = 0,

z - 1 = 0, aquí sumas 1 en ambos miembros, y queda: z = 1,

luego, sumas 2 en ambos miembros de la segunda ecuación, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y tienes dos opciones:

2a)

y = -√(2),

reemplazas en la primera ecuación, y queda:

1 = -2√(2)a, multiplicas en ambos miembros por √(2), y queda:

√(2) = -4a, divides en ambos miembros por -4, y queda: -√(2)/4 = a,

por lo que tienes el punto crítico: A(0,-√(2),1), cuyos multiplicadores son: a = -√(2)/4 y b = 1,

b)

y = √(2),

reemplazas en la primera ecuación, y queda:

1 = 2√(2)a, multiplicas en ambos miembros por √(2), y queda:

√(2) = 4a, divides en ambos miembros por 4, y queda: √(2)/4 = a,

por lo que tienes el punto crítico: B(0,√(2),1), cuyos multiplicadores son: a = √(2)/4 y b = 1.

Luego, evalúas la expresión de la función para los puntos críticos, y queda:

f(0,-√(2),1) = 0 - √(2) + 1 = -√(2) + 1 ≅ -0,414,

f(0,√(2),1) = 0 + √(2) + 1 = √(2) + 1 ≅ 2,414,

por lo que tienes que la función alcanza un Máximo Absoluto en el punto B(0,√(2),1) y un Mínimo Absoluto en el punto A(0,-√(2),1).

Espero haberte ayudado.

Saludos, ese es el enunciado original? Es que no entiendo algunas cosillas como lo amarillo o los signos de preguntas :(

El orinal esta en inglés, lo dejo aquí 

Tienes las ecuaciones de los planos:

π₁ (observa que es paralelo al eje OZ), cuyo vector normal es: u₁ = <1,1,0>;

π₂ (observa que es es el plano OYZ), cuyo vector normal es: u₂ = <1,0,0>.

Tienes la expresión del punto: B(-1,1,1).

a)

Cambias el signo a la primera coordenada, y tienes que el punto simétrico a B con respecto al plano π₂ queda expresado:

B_s(1,1,1).

b)

Observa que la recta es paralela a ambos planos, por lo que puedes plantear que su vector director es perpendicular a los vectores normales de los planos, y queda:

v = u₁ x u₂ = <1,1,0> x <1,0,0> = <0,0,-1>;

luego, con las coordenadas del punto B y con las componentes del vector director, observa que no puedes plantear las ecuaciones cartesianas continuas (o simétricas) de la recta pedida porque su vector director tiene dos componentes iguales a cero, por lo que planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas, y queda:

x = 1 + 0*t,

y = 1 + 0*t,

z = 1 - 1*t;

cancelas términos nulos, y queda:

x = 1,

y = 1,

z = 1 - 1*t,

con t ∈ R.

c)

Observa que el punto B pertenece a la recta, por lo que la distancia entre dicha recta y el plano π₂ (recuerda que es el plano coordenado OYZ) puede expresarse como la distancia entre el punto B y el plano OYZ, cuya expresión es el valor absoluto de la abscisa del punto:

d(r,π₂) = d(B,π₂) = |1| = 1.

d)

Calcula los módulos de los dos vectores normales a los planos:

|u₁| = |√(1²+1²+0²)| = |√(2)| = √(2),

|u₂| = |√(1²+0²+0²)| = |√(1)| = 1;

luego, plantea el producto escalar entre los dos vectores normales en función de sus componentes:

u₁ • u₂ = <1,1,0> • <1,0,0> = 1*1 + 1*0 + 0*0 = 1 (*);

luego, plantea el producto escalar entre los dos vectores normales en función de los módulos de los vectores y del ángulo comprendido entre ellos:

|u₁|*|u₂|*cosθ = u₁ • u₂,

sustituyes los valores de los módulos y el valor señalado (*), y queda:

√(2)*1*cosθ = 1,

divides en ambos miembros por √(2), y queda:

cosθ = 1/√(2),

compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y queda:

θ = π/4 = 45°.

Espero haberte ayudado.

Debes usar la regla de la cadena, primero pones la derivada de la raíz (1/(2*√a)) * a' 

donde a = la función racional de tu ejemplo

y a' = la derivada de la función racional 

Espero que sea de ayuda