Podrías considerarlo así:

si los vectores que conforman la matriz de la transformación rotación están normalizados, entonces tienes que el vector imagen es solamente una rotación del vector correspondiente del dominio, sin dilatación ni contracción.

En cambio, si empleas una matriz cuyos vectores no están normalizados, tendrías dilataciones o contracciones, además de la rotación.

Espero haberte ayudado.

9)

Tienes la multiplicación de expresiones:

(7*a^m+1*bⁿ)*(3*a^m-1*bⁿ⁺²) =

ordenas y reagrupas factores, y queda:

= (7*3)*(a^m+1*a^m-1)*(bⁿ*bⁿ⁺²) =

resuelves el producto numérico en el primer agrupamiento, aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales en los dos últimos agrupamientos, y queda:

= 21*a^(m+1)+(m-1)*b^n+(n+2) =

resuelves los exponentes en los dos últimos factores, y queda:

= 21*a^2m*b²ⁿ⁺².

10)

Tienes la multiplicación de expresiones:

(x^n-2*y^2n-3)*(-3*xⁿ*y⁴) =

ordenas y reagrupas factores, y queda:

= -3*(x^n-2*xⁿ)*(y^2n-3*y⁴) =

aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales en los dos últimos agrupamientos, y queda:

= -3*x^2n-2*y²ⁿ⁺¹.

Espero haberte ayudado.

El denominador solo tiene la raíz real x=0, ya que (x^2+4)>0, por lo que x^2+4 es un polinomio primo de 2º grado.

Y como saco entonces las raices ?

1)

Tienes la expresión de la función, cuyo dominio es R, y observa que la función es continua en todo su dominio:

f(x) = x⁵ + x³ + x (1);

luego, tienes el dato:

f ^-1 (3) = c, con c = a determinar;

luego, aplicas la definición de función inversa, y tienes:

f(c) = 3, 

sustituyes la expresión de la función señalada (1) evaluada, y queda:

c⁵ + c³ + c = 3,

que es una ecuación polinómica de grado cinco, y observa que una de sus soluciones es:

c = 1.

2)

Tienes la expresión de la función, cuyo dominio es R, y observa que la función es continua en todo su dominio:

g(x) = 3 + x + e^x (1);

luego, tienes el dato:

g ^-1 (4) = c, con c = a determinar;

luego, aplicas la definición de función inversa, y tienes:

g(c) = 4,

sustituyes la expresión de la función señalada (1) evaluada, y queda:

3 + c + e^c = 4, 

restas 3 en ambos miembros, y queda:

c + e^c = 1, 

que es una ecuación trascendente, y observa que una de sus soluciones es:

c = 0.

Espero haberte ayudado.

Puedes llamar: A(0,5) y B(0,-5) a los puntos fijos, y puedes llamar P(x,y) al punto genérico perteneciente al lugar geométrico.

Luego, tienes la condición:

d(A,P) + d(B,P) = 14 (1), 

que corresponde a una Elipse con centro de simetría en el punto medio entre los puntos fijos: C(0,0), con su semieje mayor: a = 7.

Luego, observa que el eje focal es el eje OY (al cuál pertenecen los puntos fijos, por lo que tienes que el semieje focal es: c = 5.

Luego, planteas la expresión del semieje menor en función del semieje mayor y del semieje focal, y queda:

b = √(a²-c²) = √(7²-5²) = √(24).

Luego, tienes todo lo que necesitas para plantear la ecuación cartesiana canónica de la elipse con centro de simetría en el origen de coordenadas:

x²/a² + y²/b² = 1,

reemplazas valores en los denominadores, resuelves los denominadores, y queda:

x²/24 + y²/49 = 1.

Y si te piden la deducción de la ecuación a partir de la condición expresada en la ecuación señalada (1), sustituyes las expresiones de las distancias en el primer miembro de dicha ecuación, y queda:

√( (x-0)²+(y-5)² ) + √( (x-0)²+(y+5)² ) = 14,

cancelas términos nulos en los agrupamientos, y queda:

√( x²+(y-5)² ) + √( x²+(y+5)² ) = 14,

restas √( x²+(y-5)² ) en ambos miembros, y queda:

√( x²+(y+5)² ) = 14 - √( x²+(y-5)² ),

elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

( √( x²+(y+5)² ) )² = ( 14 - √( x²+(y-5)² ) )²,

simplificas índice y exponente en el primer miembro, desarrollas el cuadrado de una resta en el segundo miembro, y queda:

x²+(y+5)² = 196 - 28√( x²+(y-5)² ) + x²+(y-5)²,

desarrollas los binomios elevados al cuadrado, y queda:

x² + y² + 10y + 25 = 196 - 28√( x²+(y-5)² ) + x² + y² - 10y + 25,

restas x², restas y², restas 25 y sumas 10y en ambos miembros, y queda:

20y = 196 - 28√( x²+(y-5)² ),

restas 196 en ambos miembros, y queda:

20y - 196 = -28√( x²+(y-5)² ),

divides por 4 en todos los términos de la ecuación, y queda:

5y - 49 = -7√( x²+(y-5)² ),

elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

( 5y - 49)² = ( -7√( x²+(y-5)² ) )²,

resuelves los cuadrados en ambos miembros, y queda:

25y² - 490y + 2401 = 49( x²+(y-5)² ),

distribuyes el factor común numérico en el segundo miembro, y queda:

25y² - 490y + 2401 = 49x²+ 49(y-5)²,

desarrollas el último término, y queda

25y² - 490y + 2401 = 49x² + 49y² - 490y + 1225,

restas 49x², restas 49y², restas 2401 y sumas 490y en ambos miembros, y queda:

-49x² - 24y² = -1176,

divides por -1176 en todos los términos de la ecuación (observa la igualdad: 49*24 = 1176), y queda:

x²/24 + y²/49 = 1.

Espero haberte ayudado.

A ver si este dibujo te ayuda a completar el triángulo rectángulo (donde pone LUNA pon avión y quita el valor del ángulo)

Muchísimas gracias Antonio. Ya estoy dudando si es que en el libro por el que estoy estudiando la solución está mal. Voy a poner lo que he hecho aquí, a ver qué es entonces. 

Utilizando el dibujo que has puesto O-T= 6371 y T-L = 6381

Entonces T-L² =O-L² + O-T²

O-L² = T-L² - O-T² = 6381² - 6371²

=40717161 - 40589641 = 127520

O-L=357km ...nada que ver con 6731

¿ven el error? porque se me escapa :) :) 

Debes meterte ya con la teoría Uriel

Vale, ya estoy en ello, ya puedo resolver más ejercicios, ese se me complicó