Tienes la expresión de la función vectorial de posición:

r(t) = < t , (1/2)*t² , t >;

luego derivas, y la expresión de la función velocidad queda:

r ' (t) = < 1 , t , 1 >,

cuyo módulo queda:

|r ' (t)| = √(2+t²) = (2+t²)^1/2;

luego derivas la expresión de la función velocidad, y la expresión de la función aceleración queda:

r ' ' (t) = < 0 , 1 , 0 >.

Luego, planteas la expresión de la función vector tangente unitario, y queda:

T(t) = r ' (t) / |r ' (t)| = < 1/(2+t²)^1/2 , t/(2+t²)^1/2 , 1/(2+t²)^1/2 > = 

= <  (2+t²)^-1/2, t*(2+t²)^-1/2 , (2+t²)^-1/2 >.

Luego, ya tienes todo para plantear la expresión de la componente tangencial de la aceleración:

a_T = r ' ' (t) ∗ T(t) = t*(2+t²)^-1/2.

Luego, derivas la expresión del vector tangente unitario, y queda

T ' (t) = < -t*(2+t²)^-3/2 , (2+t²)^-1/2 - t²*(2+t²)^-3/2 , -t*(2+t²)^-3/2 >,

extraes factor común en la segunda componente, resuelves, y queda:

T ' (t) = < -t*(2+t²)^-3/2 , 2*(2+t²)^-3/2 , -t*(2+t²)^-3/2 >,

cuyo módulo queda:

|T ' (t)| = √(t²*(2+t²)^-3+4*(2+t²)^-3+t²*(2+t²)^-3) =

= √( (2*t²+4)*(2+t²)^-3 ) = √( (2*t²+4) )*√( (2+t²)^-3 ) = (2*t²+4)^1/2*(2+t²)^-3/2.

Luego, planteas la expresión de la función vector normal unitario, y queda

N(t) = T ' (t) / |T ' (t)| = < -t/(2*t²+4)^1/2 , 2/(2*t²+4)^1/2 , -t/(2*t²+4)^1/2 >.

Luego, ya tienes todo para plantear la expresión de la componente normal de la aceleración:

a_N = r ' ' (t) • N(t) = 2/(2*t²+4)^1/2 = 2*(2*t²+4)^-1/2.

Espero haberte ayudado.

Matriz inversa por Gauss

Espero haberte ayudado

1/6 → va pintada de rojo,

1/4 → va pintada de verde,

A continuación, para hallar la proporción para el color azul, hemos de asumir la siguiente ecuación: 1/6 + 1/4 + x = 1, siendo x en este caso: lo que queda.

Sin embargo, no nos olvidemos de un detalle: lo que va pintado son los 4/5 de x: .
Por tanto, la proporción del poste que va pintada de azul es 7/15. Lo
restante, aplicando que la suma de las proporciones es igual a la
unidad: se corresponde con 7/60.

Por tanto, aplicando reglas de tres:

7/60 → 7

7/15 → y ⇔x= (7/15 • 7) / (7/60) → y=28 metros

7/60 → 7

1/6 → z ⇔ z=(1/6 • 7) / (7/60) → z=10 metros

7/60 → 7

1/4 → φ ⇔ φ= (1/4 • 7)/(7/60) → φ=15 metros

Finalmente,
teniendo ya calculados los metros de las cantidades pintadas, lo que
mide realmente el poste, será la suma de todas las zonas:

Longitud del poste = 7+y+z+φ ⇔ Longitud del poste = 60 metros

Espero haberte ayudado

Yauset, fíjate que lo que queda para pintar es 7/12, y lo que va pintado de azul son los 4/5 de x. Por tanto, la proporción del poste que va pintada de azul es (7/12)*(4/5)=7/15.

Saludos.

Cierto... me comí el uno del quince :< ... Muchas gracias Guillem

Vertical en x=0

Horizontal no hay

oblicua será x

Observa que si x toma valores muy grandes en valor absoluto, entonces tienes que el segundo término toma valores muy pequeños en valor absoluto, y que el primer término, por el contrario, toma valores muy grandes en valor absoluto. Por lo tanto, desprecias el segundo término, y queda la expresión:

y = x,

que es la ecuación de una asíntota oblicua de la gráfica de la función.

Si aplicas el mismo procedimiento, y llegas a una ecuación del tipo: y = constante, entonces tienes que esta ecuación corresponde a una asíntota horizontal, y recuerda que la gráfica de una función no puede tener a la vez asíntota oblicua y asíntota horizontal, ya sea para valores positivos muy grandes o para valores negativos muy grandes.

Luego, observa que el dominio de la función es: D = R - {0}, y observa que si consideras valores muy pequeños (muy próximos a cero) en valor absoluto, entonces tienes que el primer término toma valores muy pequeños, y que el segundo término toma valores muy grandes. Por lo tanto, tienes que la gráfica de la función tiene asíntota vertical cuya ecuación es:

x = 0.

Sería muy conveniente que recurras a un graficador para que puedas observar la gráfica de la función, junto con las gráficas de sus dos asíntotas.

Espero haberte ayudado.

Una pregunta, Antonio: 

En el problema 2, ¿cómo puedo hallar numéricamente la derivada en los puntos?

Muchas gracias.

Con los datos de que disponemos es imposible hacer una estimación, aparte de decir que existen y son valores reales.

¿Y qué datos serían necesarios para poder estimarlo? Yo lo he calculado como: [f(1) - f(0)]/1, etc. El problema al hacer eso es que sólo me daban dos valores de derivadas (y no 3) al tener únicamente los valores de la función en 3 puntos.

Intenta dejar los parámetros como más abajo y a la derecha, mejor!

Saludos.

7)

Observa que el hiperboloide es una superficie de nivel de la función diferenciable de tres variables cuya expesión es:

f(x,y,z) = z² - 2x² - 2y²,

cuya función vector gradiente tiene la expresión:

∇f(x,y,z) = < -4x , -4y , 2z >,

luego, evalúas para el punto en estudio: A(1,-1,4), y queda:

∇f(1,-1,4) = < -4 , 4 , 8 >,

que es un vector normal a la superficie en el punto en estudio.

Luego, con el punto en estudio y este vector, puedes plantear una ecuación del plano tangente, y también unas ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta normal correspondiente (te dejo la tarea).

Espero haberte ayudado.

8)

Observa que la expresión del volumen del cilindro corresponde a una función diferenciable de dos variables, cuya expresión es:

V(R,H) = π*R²*H;

cuyas derivadas parciales tienen las expresiones:

V_R(R,H) = 2π*R*H,

V_H(R,H) = π*R²;

luego, planteas la expresión de su diferencial total, y queda:

dV = V_R(R,H)*dR + V_H(R,H)*dH,

sustituyes expresiones, y queda:

dV = 2π*R*H*dR + π*R²*dH.

Luego, tienes los datos:

R = 3 cm, H = 12 cm , dR ≅ +1 cm, dH = 0,

reemplazas valores, y queda:

dV ≅ 2π*3*12*1 + π*3²*0 = 72π + 0 = +72π cm³,

por lo que puedes concluir que el volumen del cilindro aumenta aproximadamente la cantidad remarcada.

Espero haberte ayudado.

Casi la tenias

Vemos que podemos aplicar la propiedad de simetría |x|=|-x|. De esta manera, nos quedan dos inecuaciones a resolver:

x+2<2x-y / -x-2<2x-y → Hemos de despejar  y: x-2>y / 3x+2>y. Finalmente, representamos ambas funciones, como si de una igualdad se tratara: (Están en su orden correspondientes

Finalmente, escogemos un punto para cada función, que no pertenezca a la misma. Posteriormente, verificaremos la inecuación que nos había quedado...

Para x-2>y, escogemos el punto (0,0), y sustituimos: -2>0 INECUACIÓN FALSA, significa que la solución a esta inecuación, es la región contraria al punto...

Para 3x+2>y, escogemos el punto (2,3), y sustituimos: 8>3 INECUACIÓN VERDADERA, significa que la solución es la región que contiene al punto...

Finalmente, la solución al ejercicio: será la intersección de ambas soluciones. Aquí te dejo la solución graficada:

ESPERO HABERTE AYUDADO

Dios, creía que se hacía mucho más fácilmente... 

No se si te refires a esto