Tienes a las rectas presentadas por sus ecuaciones cartesianas implícitas.

Luego, despejas y en la expresión de la primera recta, y queda:

y = -(2/3)x + 2/3 (1),

y observa que su pendiente es: M₁ = -2/3, y que su ordenada al origen es: N₁ = 2/3.

Luego, despejas la expresión de la segunda recta, y queda:

y = -(1/m)x - n/m (2),

y observa que su pendiente queda expresada: M₂ = -1/m, y que su ordenada al origen queda expresada: N₂ = -n/m,

y observa que m debe tomar un valor distinto de cero.

Luego, planteas la condición de paralelismo (las pendientes de las rectas son iguales), y queda la ecuación:

M₁ = M₂, sustituyes expresiones, y queda:

-2/3 = -1/m, y de aquí despejas:

m = 3/2 (1);

luego, tienes dos casos para esta pendiente:

a)

las rectas son paralelas no coincidentes:

N₂ ≠ N₁, sustituyes expresiones, y queda:

-n/m = 2/3, multiplicas en ambos miembros por -m y queda:

n ≠ -(2/3)m, reemplazas el valor señalado (1), resuelve, y queda:

n ≠ -1,

por lo que tienes que las rectas son paralelas no coincidentes para: m = 3/2 y n ≠ -1;

c)

las rectas son paralelas coincidentes para m = 3/2 y n = -1.

b)

Planteas la condición de perpendicularidad (las pendientes de las rectas son contrarias y recíprocas), y queda la ecuación:

-1/M₁ = M₂, sustituyes expresiones, resuelves el primer miembro, y queda:

3/2 = -1/m, multiplicas en ambos miembros por 2m/3, y queda:

m = -2/3,

por lo que tienes que las rectas son perpendiculares para m = -2/3, y para cualquier valor real n.

Espero haberte ayudado.

sii! Muchas gracias

Observa que tienes la expresión en tres trozos de una función cuyo dominio es: D = R (observa que la expresión central se indetermina para x = 0, pero este valor no pertenece a su intervalo de definición). 

Observa además que las expresiones de los tres trazos son continuas, por lo que tienes que los valores críticos a considerar son: x₁ = 2 y x₂ = 4, por lo que debes emplear la definición para estudiar la continuidad de la función para ellos.

a)

Continuidad en x₁ = 2:

1°)

f(2) = 8/2 = 4;

2°)

Límites laterales:

Lím(x→2-) f(x) = Lím(x→2-) (3x - 2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4,

Lím(x→2+) f(x) = Lím(x→2+) (8/x) = 8/2 = 4,

por lo que tienes para el límite de la función:

Lím(x→2) f(x) = 4;

3°)

Como el valor de la función y su límite coinciden para este valor crítico, tienes que la función es continua en x₁ = 2,

y podría ser derivable para este valor crítico.

b)

Continuidad en x₂ = 4:

1°)

f(4) = 4² - 3(4) = 16 - 12 = 4;

2°)

Límites laterales:

Lím(x→2-) f(x) = Lím(x→2-) (8/x) = 8/4 = 2,

Lím(x→2+) f(x) = Lím(x→2+) (x² - 3x) = 4² - 3(4) = 16 - 12 = 4,

por lo que tienes que los límites laterales no coinciden por lo que el límite de la función no existe para este valor crítico.

3°)

Como el límite de la función no existe para este valor crítico, tienes que la función no es continua en x₂ = 4 y, por lo tanto,

tienes que la función no es derivable para este valor crítico.

c)

Planteas la expresión de la función derivada, y queda:

f ' (x) =

3                                    si x < 2,

a determinar              si x = 2,

-8/x²                             si 2 < x < 4,

no está definida        si x = 4,

2x - 3                           si x > 4;

luego, planteas los límites de las derivadas laterales para x₁ = 2, y quedan:

Lím(x→2-) f ' (x) = Lím(x→2-) 3 = 3,

Lím(x→2+) f ' (x) = Lím(x→2+) -8/2² = -8/4 = -2,

y como los límites laterales de la función derivada no coinciden, puedes inferir que la función no es derivable en este valor crítico,

aunque debes aplicar la definición (te dejo la tarea) para mostrar claramente que las derivadas laterales son diferentes para x₂ = 4.

Espero haberte ayudado.

En sí, las funciones que constituyen a f(x), son continuas y derivables en R, por tanto: sólo hemos de fijarnos en los números en los que se producen el cambio de una función a otra. Me refiero a x=2, y x=4:

• Empezemos por x=2:

Evaluamos el lim x→2⁺f(x): si tenemos en cuenta que para x≥2, la función es 8/x → lim x→2⁺ 8/x=4

Evaluamos el lim x→2^- f(x) = lim x→2^- (3x-2)=4

∴lim x→2 f(x)=4. Ahora nos toca comprobar si este límite, se corresponde con la imagen de la función en x=2:

f(2)=8/2=4=lim x→2 f(x).

Por tanto, podemos confirmar que f(x) es continua en x=2...

• Vamos ahora con x=4

lim x→4⁺f(x) = lim x→4⁺(x²-3x) = 4

lim x→4^- f(x)= lim x→4⁺(8/x)= 2

∴ lim x→4⁺f(x) ≠ lim x→4^- f(x) → ∃lim x→4 f(x), lo que significa que f(x) no es continua en x=4

Ahora pasaremos a estudiar la derivabilidad de la función. Hallamos la función derivada de x:

f'(x)= | 3   si x<2

          { -8/x²   si  2≤x<4

          | 2x-3   si x≥4

Concluimos con que f(x) es continua y derivable en R - {2,4}

                                        f(x) no es continua y tampoco derivable en x=4

                                        f(x) es continua pero no derivable en x=2, dado que f'(2⁺)≠f'(2^-)

Observa que puedes despejar en tu primera ecuación:

y = 125/x (1) (observa que x no puede tomar el valor cero).

Observa que en tu segunda línea tienes la expresión de la función de dos variables:

f(x,y) = x² + 2y.

Luego, sustituyes la expresión señalada (1) en la expresión de la función, resuelves el coeficiente del segundo término, y queda la expresión de la función de una variable:

f(x) = x² + 250/x (2), cuyo dominio es: D = R - {0};

luego, planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

f ' (x) = 2x - 250/x² (3) (observa que está definida en todo el dominio de la función);

luego, planteas la expresión de la función derivada segunda, y queda:

f ' ' (x) = 2 + 500/x³ (4) (observa que está definida en todo el dominio de la función).

Luego, planteas la condición de valor crítico (posible máximo o posible mínimo) de la función, y queda:

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión señalada (3), y queda:

2x - 250/x² = 0, multiplicas por x² (observa que no toma el valor cero) y divides por 2 en todos los términos de esta ecuación, y queda:

x³ - 125 = 0, sumas 125 en ambos miembros, luego extraes raíz cúbica en ambos miembros, y queda:

x = 5, que pertenece al dominio de la función.

Luego, evalúas la expresión señalada (4) para el valor crítico remarcado, y tienes:

f ' ' (5) = 2 + 500/2³ = 2 + 125/2 = 129/125 > 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba para el valor crítico, por lo que puedes concluir que este valor corresponde a un mínimo.

Luego, evalúas la expresión señalada (1) para el valor crítico, y queda: y = 25,  

por lo que tienes que los números buscados son 5 y 25,

y observa que el valor mínimo de la función es (observa que reemplazamos el primer número en la expresión señalada (2) de la función):

f(5) = 5² + 250/5 = 25 + 25 = 50.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias Antonio!! Me podrías echar una mano con este también? Porque me he visto el vídeo y aun así no se por donde cogerlo....

Gracias de antemano!!

Tienes las ecuaciones cartesianas simétricas (o continuas) de la recta, y recuerda que tienes las componentes de un vector director en los denominadores de los miembros, por lo que puedes plantear que un vector director de la recta es:

u = < -1, 1 , 1 >, cuyo módulo es (te dejo la tarea del plantearlo y calcularlo): |u| = √(3).

Tienes una ecuación cartesiana implícita del plano, y recuerda que tienes las componentes de un vector normal en los coeficientes de los términos con incógnitas, por lo que puedes plantear que un vector normal al plano es:

n = < 1 , 1 , 1 >, cuyo módulo es (te dejo la tarea de plantearlo y calcularlo): |n| = √(3).

Luego, puedes plantear el producto escalar entre los dos vectores, y queda:

u • n = < -1, 1 , 1 > • < 1 , 1 , 1 > = -1 + 1 + 1 = 1.

Luego, planteas la expresión del producto escalar entre los vectores en función de sus módulos y del coseno del ángulo determinado por ellos, y queda:

|u|*|n|*cosθ = u • n,

divides en ambos miembros por |u|*|n|, y queda:

cosθ = u • n / |u|*|n|,

reemplazas valores, resuelves, y queda.

cosθ = 1/3,

compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y queda:

θ ≅ 70,529°, que es la medida del ángulo determinado por la recta y la dirección normal al plano.

Espero haberte ayudado.

Te has equivocado a la hora de calcular el vector de u por el de n; a mi me da 2 no 1. Por lo que sería 2/raiz9 = 2/3

El grado de alfa será 90-48= 42 grados

Hola de nuevo, se refiere a que determines si existe o no A^-1.

¿De dónde sale la conclusión?, existe una fórmula simple, que si controlas los determinantes y la matrices en general; te recomiendo usar:

A^-1=[adj(A)]^t/|A|

Aquí te dejo una imagen para que salgas de dudas...

En el ejercicio 14: a1+a2+a3=7

                                a4+a5+a6=56

Tienes que ver la relación que existe entre los dos números que conoces, el 7 y el 56, y te das cuenta de que el 56 es múltiplo de 7: 7 * 8 = 56; La solución sería (probando números teniendo cuenta que a1<a2<a3 al ser una progresión geométrica) 1+2+4=7, por la relación anterior la segunda ecuación quedaría 8+16+32=56. De ahí sabemos que a1=1 y que a4=8 por lo que a1+a4=1+8=9

x² + (x+3)² < 29
x² + x² + 6x +9 < 29
2x² + 6x -20 <0
x1 = -5 ,x2 = 2
Comprueba que intervalo es válido
Intervalo válido: ( -5, 2)
Solución: como piden numeros naturales el intervalo se reduce a los números naturales, que son el 1, 2, 3...
La solución seria: 1 y 4. El caso de 2 y 5 no seria valido ya que al ser un intervalo abierto la suma de los cuadrados seria 29 y piden que sea menor que 29.
Espero que te ayude 

El apartado b seria: como el determinante de A es distinto de 0, A es invertible.

El determinante no lo tienes bien hecho, el procedimiento lo tienes bien pero se te ha olvidado hacer algo que hay que hacer cuando se usa ese método, fíjate en la primera división por 7.

Un saludo.

Me puedes decir que tengo que  hacer en la fila 2 por favor, no encuentro nada en la teoría.

Es multiplicar a toda la matriz fuera por 7?

Cuando usas este método, creo que se llamaba el de coefactores, cuando haces una operación en una linea tienes que hacer la operación contraria a la matriz. No me he explicado bien pero te pongo un ejemplo.

Si divides una fila por X (como has hecho en el primer caso) tienes que multiplicar la matriz por X. Y al revés, si multiplicas una fila por un numero, luego la matriz la tienes que dividir por ese mismo numero.

En tu caso, en el primer paso has dividido la dila entre 7, pues tienes que multiplicar toda la matriz por 7, de esta manera tienes que multiplicar por 7 el resultado que te ha dado y ya lo tendrías,

Al foro de Física, por favor.