Llama x al número de subidas de 100 $

Entonces, el beneficio:

B(x)=(40-x)(1000+100x)=-100x^2+3000x+40000

B'(x)=-200x+3000

B'(x)=0 da x=15

B(máx)=B(15)=25·2.500=62500 $

Recuerda la definición por comprensión del conjunto de los números enteros múltiplos de tres:

A = { x ∈ Z / x = 3*k, con k ∈ Z };

luego tienes que el elemento genérico de este conjunto queda expresado:

x = 3*k,

y su elemento consecutivo queda expresado:

x = 3*(k + 1), 

con k ∈ Z.

Espero haberte ayudado.

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

e^x = w (1), de donde tienes:

e^x*dx = dw, y también tienes:

e^2x = (e^x)² = w²;

luego, sustituyes, y la integral de tu enunciado queda:

I = ∫ ( 1/(w² + 3w + 2) )*dw.

Luego, observa que puedes plantear el Método de las Fracciones Simples, y puedes plantear (observa que factorizamos el denominador):

I = ∫ ( 1 / (w+1)*(w+2) )*dw;

expresas al argumento como suma de fracciones parciales, y queda:

I = ∫ ( a/(w+1) + b/(w+2) )*dw (2);

luego, para determinar los coeficientes a y b, planteas:

a/(w+1) + b/(w+2) = ( a(w+2) + b(w+1) ) / (w+1)*(w+2) = 1/( (w+1)*(w+2) ) ;

luego, observa que tienes una cadena de igualdades entre expresiones algebraicas fraccionarias, por lo que igualas los numeradores remarcados, y queda:

a(w+2) + b(w+1) = 1,

que es una igualdad entre polinomios, evalúas para dos valores de la indeterminada w (observa que los más convenientes son w = -2 y w = -1), y queda:

0a -b = 1, aquí puedes despejr: b = -1,

a + 0b  = 1; aquí puedes despejar: a = 1;

luego, reemplazas valores en la expresión de la integral señalada (2), y queda:

I = ∫ ( 1/(w+1) - 1/(w+2) )*dw,

luego, integras término a término, y queda:

I = ln|w+1| - ln|w+2| + C;

luego, reemplazas la expresión señalada (1), y queda:

I = ln|e^x+1| - ln|e^x+2| + C.

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Te envió mi solución.

Te dejo que compruebes que X=8 sea solución de la ecuación logarítmica.