María te he resuelto la primer columna, te he dejado las formulas solo tienes que reemplazar y hacer tus cuentas ;-) nos cuentas como te fue

María me he equivocado en sustituir el seno y el coseno en el primer ejercicio, lo corrijo, aquí están los resultados y dos formulas más que te harán falta ;-)

No tiene solución real.

Comencemos por tomar denominador común en la expresión de la función, lo haces y queda:
(e^x - 1 - x) / ( x*(e^x - 1) N/D (observa que N y D son expresiones de funciones derivables).
Luego, puedes aplicar la regla de L'Hôpital (derivar independientemente en el numerador y en el denominador), lo haces y queda:
N ' = e^x - 1 (observa que tiende a cero cuando x tiende a cero)
D ' = e^x - 1 + xe^x (observa que también tiende a cero cuando x tiende a cero)
por lo tanto, observando que seguimos tratando con expresiones derivables, volvemos a derivar y queda:
N '' = e^x (observa que tiende a uno cuando x tiende a cero)
D '' = 2e^x + xe^x (observa que tiende a dos cuando x tiende a cero).
Por lo tanto, a partir del límite planteado, hemos aplicado dos veces consecutivas la regla de L'Hôpital:
Lím(x-->0) N/D = Lím(x-->0) N '/D ' = Lím(x-->0) N ''/D'' = 1/2.
Otro camino para resolver el ejercicio, una vez tomado el denominador común en la expresión de la función, podría haber sido expresar a e^x por medio de su Polinomio de McLaurin (que se desarrolla alrededor de cero).
Espero haberte ayudado.

¿Se podría hacer sin usar L'Hopital? Gracias por la respusta.

Esto, Víctor:

¡Observa en tu renglón, cuando despejaste lambda (L)!
-80L = -60, luego:
L = -60/(-80)
L = 3/4.
De todas maneras, revisa por favor todos tus cálculos.
Espero haberte ayudado.

Por favor, envía una foto con mayor definición, porque no se aprecian bien los caracteres pequeños

aqui te la mando muchas gracias

de la primera imagen seria el 1 completo y el 2 la parte b
y el ejecicio 3
y de la segunda imagen simplemente el 6
un saludo
Espero que me puedas ayudar

Supongo que diras 1/3 * log(en base 2)(x) = -3...
Si es eso sería lo que te he pasado.
En el canal de unicoos creo que también hay logaritmos.

En caso de que fuera una división esos dos puntos daria log en base 2(x)/-9 Haciendo las divisiones pertinentes.

Observa que podrías igualar las dos primeras ecuaciones, así eliminas el parámetro lambda, lo haces, y verás que los denominadores coinciden, por lo que los cancelas y llegas a y = x (*).
Luego sustituyes en la tercera ecuación y queda: x + x - 8 = 0, despejas y llegas a: x = 4.
Luego reemplazas e la ecuación señalada (*) y llegas a: y = 4.
Por último, reemplazas todo en la primera (o en la segunda) ecuación y obtienes:
lambda = 4/(2 + 4*4) = 1/9.
Espero haberte ayudado.

Gracias pero no entiendo. esto..
podrías igualar las dos primeras ecuaciones, así eliminas el parámetro lambda

Oberva que tienes tres ecuaciones con tres incógnitas (indicamos lambda como L):
y / (2 + xy) = L (*)
x / (2 + xy) = L
x + y - 8 = 0
Observa que, como L está despejado en las dos primeras ecuaciones, las podemos igualar, y mantener la tercera ecuación, por lo que nos queda el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
y / (2 + xy) = x / (2 + xy)
x + y - 8 = 0 (**)
Luego, en la primera ecuación, hacemos pasaje de divisor como factor y queda:
y = ( x / (2 + xy) ) * (2 + xy), observa que podemos simplificar la expresión del paréntesis, ya que multiplica y divide, lo hacemos y queda:
y = x (***)
luego, sustituimos en la ecuación señalada (**) y queda:
x + x - 8 = 0, reducimos términos semejantes, hacemos pasaje de término y queda:
2x = 8, hacemos pasaje de factor como divisor, resolvemos y queda:
x = 4,
luego reemplazamos en la ecuación señalada (***) y queda:
y = 4,
luego reemplazamos en la expresión señalada (*) y queda:
4 / (2 + 4*4) = L, resolvemos en el denominador y queda:
4/18 = L, simplificamos y llegamos a:
2/9 = L (aquí me toca corregir un error de tipeo en el anteúltimo renglón en mi entrega anterior, por favor disculpa).
Por lo tanto, la solución del sistema planteado es: x = 4, y = 4, L = 2/9:
Espero haberte ayudado.

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable):
w = 1 + cos(2x), y el diferencial queda: dw = -2*sen(2x)*dx, luego despejas y queda: (-1/2)*dw = sen(2x)*dx.
Luego sustituyes y la integral queda:
I = (-1/2) * Integral (1/w)*dw = (-1/2)*ln|w| + C = (-1/2)*ln|1 + cos(2x)| + C.
Espero haberte ayudado.

Te explicamos dos de ellos. Intenta hacer los otros, Pablo:

2 log_2(x) = 10

Pasamos el 2 dividiendo:
log_2(x) = 10/2 = 5

Como log_a(b) = c ↔ b = a^c:
x= 2^5 = 32

Espero haberte ayudado