lo pasamos todo a cm

triángulos semejantes

150/450 = 50/x

x=150 cm

Semejanza triángulos

pincha aquí, es uno muy parecido.

a)

Aquí comenzaste bien:

f'(a) = Lím(x→a) ( 1 - 3x² - (1 - 3a²) )/(x - a) = Lím(x→a) ( 1 - 3x² - 1 - 3a² )/(x - a) = Lím(x→a) ( -3x² + 3a² )/(x - a) = 

aquí extraes factor común (-3) en el numerador del argumento, y queda:

= Lím(x→a) ( -3*(x² - a² )/(x - a) = factorizas la resta de cuadrados perfectos, y queda:

= Lím(x→a) -3*(x + a)*(x - a)/(x - a) = simplificas, y queda:

= Lím(x→a) -3*(x + a) = evalúas, y queda:

= -3*2*a = resuelves, y queda:

= -6*a.

b)

Aquí comenzaste bien:

f'(a) = Lím(x→a) ( 5x² - 3*x + 2 - (5a² - 3*a + 2) )/(x - a) = Lím(x→a) ( 5x² - 3*x + 2 - 5a² + 3*a - 2) )/(x - a) = 

aquí cancelas términos opuestos, ordenas términos, y queda:
Lím(x→a) ( 5x² - 5a² - 3*x + 3*a )/(x - a) = 

aquí extraes factor común (5) entre los dos primeros términos en el numerador del argumento, extraes factor común (-3) entre los dos últimos términos en el numerador del argumento, y queda:y queda:

= Lím(x→a) ( 5*(x² - a²) - 3*(x - a) )/(x - a) = factorizas la resta de cuadrados perfectos, y queda:

= Lím(x→a) ( 5*(x + a)*(x - a) - 3*(x - a) )/(x - a) = extraes factor común ( (x - a) ) en el numerador, y queda:

= Lím(x→a) (x - a)*(5*(x + a) - 3)/(x - a) = simplificas, y queda:

= Lím(x→a) (5*(x + a) - 3) = evalúas, y queda:

= 5*2*a + 3 = resuelves, y queda:

= 10*a - 3.

Espero haberte ayudado.

Hola Ramon,

desde Unicoos no resolvemos vuestros ejercicios sino que os ayudamos a resolverlos por vosotros mismos. El trabajo duro debe ser el vuestro, prueba de intentarlo, y preguntarnos las dudas que te surjan por el camino.

Un saludo,

Vlad

Observa que el dominio de la función es una región cerrada y acotada, limitada por un tramo de parábola (cuyo vértice en el origen de coordenadas y cuyo eje de simetría es el eje OY), y por un tramo de recta paralela al eje OX.

Observa que tienes la expresión de una función diferenciable en R², y, por lo tanto, también tienes que la función es continua.

Luego, observa que se cumplen las hipótesis del Teorema de los Extremos Absolutos, por lo que tienes que la función presentará extremos absolutos en el dominio indicado en tu enunciado.

Luego, recuerda que debes considerar, por separado, la existencia de puntos críticos en la región interior del dominio y en su frontera.

1°)

Considera la región interior del dominio.

Observa que tienes la expresión de una función diferenciable en R², cuyas derivadas parciales primeras tienen las expresiones:

f_x(x,y) = y - 1,

f_y(x,y) = x - 1;

planteas la condición de punto estacionario (f_x(x,y) = 0 e f_y(x,y) = 0), y queda el sistema de ecuaciones:

y - 1 = 0,

x - 1 = 0,

aquí observa que las ecuaciones son independientes, y que su solución es el punto (1,1), que no pertenece a la región interior del dominio, por lo que no lo consideramos como punto crítico.

2°)

Observa que la frontera presenta dos vértices (que son las intersecciones de su tramo parabólico con su tramo recto), que son los puntos:

A(-2,4) y B(2,4),

a los que consideramos como puntos críticos.

3°)

Considera el tramo recto de la frontera:

y = 4 (1),

-2 < x < 2;

reemplazas el valor señalado (1) en la expresión de la función, observa que queda reducida a una variable, cuya expresión es:

f_A(x) = 1 + x*4 - x - 4, reduces términos semejantes, y queda:

f_A(x) = 3*x - 3, que es la expresión de una función derivable, cuya derivada primera tiene la expresión:

f_A'(x) = 3,

que no toma el valor cero, por lo que tienes que la función no presenta puntos críticos para este tramo.

4°)

Considera el tramo parabólico de la frontera:

y = x² (2),

-2 < x < 2;

reemplazas la expresión señalada (2) en la expresión de la función, observa que queda reducida a una variable, cuya expresión es:

f_B(x) = 1 + x*x² - x - x², resuelves el segundo término, ordenas términos, y queda:

f_B(x) = x³ - x² - x + 1, que es la expresión de una función derivable, cuya derivada primera tiene la expresión:

f_B'(x) = 3*x² - 2*x - 1, planteas la condición de punto estacionario (f_B'(x) = 0), y queda:

3*x² - 2*x - 1 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

a)

x = -1/3, reemplazas este valor en la ecuación señalada (2), resuelves, y queda: y = 1/9,

que conduce al punto C(-1/3,1/9), que sí pertenece al tramo parabólico de la frontera del dominio, por lo que sí lo consideramos como punto crítico;

b)

x = 1, reemplazas este valor en la ecuación señalada (2), resuelves, y queda: y = 1,

que conduce al punto D(1,1), que sí pertenece al tramo parabólico de la frontera del dominio, por lo que sí lo consideramos como punto crítico.

5°)

Evalúas la expresión para los cuatro puntos críticos cuyas expresiones hemos remarcado, y queda:

f(-2,4) = 1 + (-2)*4 - (-2) - 4 = -9,

f(2,4) = 1 + 2*4 - 2 - 4 = 3,

f(-1/3,1/9) = 1 + (-1/3)*(1/9) - (-1/3) - 1/9 = 32/27 ≅ 1,185,

f(1,1) = 1 + 1*1 - 1 - 1 = 0;

luego, puedes concluir que la función presenta:

Máximo Absoluto en el punto A(2,4), en el que toma el valor: f(2,4) = 3,

Mínimo Absoluto en el punto B(-2,4), en el que toma el valor: f(-2,4) = -9.

Espero haberte ayudado.

pincha aquí

Vamos con una orientación:

Observa que el numerador y el denominador del argumento de tu límite tienden a cero, por lo que el mismo es indeterminado.

Luego, planteas las expresiones de las derivadas primeras del numerador y del denominador, y queda:

N' = 1/(1 + x²) - 1,

D' = 1 - cosx,

y observa que ambas expresiones tienden a cero cuando x tiende a cero, por lo que tienes que el límite sigue siendo indeterminado luego de aplicar por primera vez la Regla de L'Hôpital.

Luego, planteas las expresiones de las derivadas segundas del numerador y del denominador, y queda:

N'' = -2*x/(1 + x²)²,

D'' = senx,

y observa que ambas expresiones tienden a cero cuando x tiende a cero, por lo que tienes que el límite sigue siendo indeterminado luego de aplicar por segunda vez la Regla de L'Hôpital.

Luego, planteas las expresiones de las derivadas terceras del numerador y del denominador, y queda:

N''' = (-2 + 6*x²)/(1 + x²)³,

D''' = cosx,

y observa que la expresión de la derivada tercera del numerador tiende a -2, y que la expresión de la derivada tercera del denominador tiende a 1, por lo que tienes que el límite es igual a -2, luego de aplicar por tercera vez la Regla de L'Hôpital.

Espero haberte ayudado.