No es muy ortodoxa la demostración, pero ahí va:   Escribo una tabla para las unidades de a, a² +1  y  a² -1   puesto que a(a⁴ -1) = a(a² +1)(a² -1).   Miro las unidades de los tres factores y las multiplico, obteniendo de ese modo las unidades de a.(a4 - 1) .   Obsérvese que todas acaban en 0, por tanto a.(a4 - 1)  es múltiplo de 5 para cualquier valor de a.

Sea AB = x   y   BC = y  la altura y la anchura respectivamente del rectángulo:     Área del triángulo sombreado de la izquierda:  x. h /2  (donde h es su altura).   Área del triángulo sombreado de la derecha:   x. h'/2 (donde h' es su altura). Fíjate que h+h' es y.    La suma de ambas áreas es  x (h/2 + h'/2) =  x.y/2.

Vamos con el área blanca:    Área del rectángulo - área de los triángulos sombreados =  xy - x.y/2 = x.y/2.

Resulta que ambas áreas son iguales, por lo tanto la razón es 1:1

Jose ,la respuesta era 1/3 :(

quisas leiste mal el planteamiento del problema,o nose la verdad

En efecto, leí mal. Yo lo que respondí fue la fracción de la región sombreada con respecto a todo el paralelogramo y el enunciado del problema era con respecto a la región no sombreada.  Ok... lo siento.  Envío el problema resuelto correctamente

Supongamos que D(a+b, a) = p ≠ 1    entonces     a + b = p.q   y  a = p. r  (a es múltipo de p)    entonces     pr + b = pq   ;   b = p(q-r)    b es múltiplo de p.   resulta que si a y b son múltiplos de p≠ 1 entonces  D (a,b) no puede ser 1 que se contradice con la hipótesis de partida, por lo tanto D(a+b, a) = 1.

De lo mejor:

http://karin.fq.uh.cu/~vladimar/cursos/%23Did%E1cticarrrr/Libros%20de%20Matem%E1ticas/Algebra%20Lineal..pdf

Está correcto

César, realmente no es lineal? Es que al concluir mi examen el profesor nos comentó que si era lineal y ayer llegando a mi casa intenté ver si lo era pero aún así no encontraba el porqué

Llamas l al lado del cuadrado y r al radio del círculo.   

a)  Perímetro de la región sombreada     Las tres esquinas en el cuadrado tienen por perímetro cada una    l + (2.pi.r) /4, como son 3 = 3l+(6.pi.r)/4     y el cuarto de círculo superior derecho:   l + (2.pi.r)/4.   Los sumo y obtengo:  :  4l + 8pi.r/4  = 4l+2.pi.r.   Como l = 2r, también se puede expresar como 4.2.r+ 2.pi.r =  (8+2pi)r.

Perímetro del cuadrado: 4l;   Perímetro de la circunferencia   2pi.r    Los sumo y obtengo 4l + 2 pi. r que era el perímetro anterior.  Por tanto a) es CIERTA.

d)El  perímetro de la región subrayada del círculo es 2.(pi.r/4)+2r = pi.r/2 + 2r  mientras que la cuarta parte del perímetro de toda la región subrayada es: (8+2pi)r / 4 = 2r + pi.r/2.  Por tanto d) ES CIERTA

Veo que tienes dificultades con el perímetro. Tienes que tener claro que es el perímetro: Imagínate que la región "achurada" es una finca y tú quieres poner valla a la finca. El perímetro es la longitud de esa valla, es decir lo que mide el contorno, por tanto viene medido en unidades de longitud (m, cm., mm.  etc),  mientras que el área es la medida de la superficie de la finca ( m² , cm² ...etc). Si haces bien las áreas, los perímetros son más sencillos si cabe.  (Para el círculo has de aplicar que su perímetro es la longitud de la circunferencia que lo rodea:   2.pi.r )

Ahhh ,ahora ya entendi mucho mejor lo del perimetro en la region achurada ,gracias por el ejemplo fue de mucha ayuda ¡

Tienes la inecuación:

(x² + 1)*(2x + 1)² ≥ 0.

y observa:

que el primer factor es positivo para todo valor real x, por ser la suma de dos términos positivos (recuerda que todos los cuadrados son positivos, y si sumas uno, sigue siendo positivo el resultado),

que el segundo factor es positivo, por tratarse de un cuadrado;

luego, puedes concluir que la multiplicación de los dos factores del primer miembro será positiva, porque ambos factores los son, por lo tanto siempre se obtendrá un resultado mayor o igual que cero para todo valor real x.

Luego, tienes que el conjunto solución de esta inecuación es R.

Espero haberte ayudado.

Si, has planteado y resuelto el problema en forma correcta.

Observa que los ángulos interiores correspondientes a los vértices del rombo que son extremos de su diagonal menor miden 120°, y que los ángulos interiores correspondientes a los vértices del rombo que son extremos de su diagonal mayor miden 60°.

Luego, observa que el área del triángulo rectángulo sombreado con amarillo es la cuarta parte delárea del rombo, y observa también con la base del este triángulo mide 2 cm ("media diagonal menor"), y que su altura tiene la misma medida que la mitad de la diagonal mayor; 

luego, planteas la expresión de la tangente trigonométrica para el ángulo de 60°, y queda:

(D/2)/2 = tan(60°), resuelves el primer miembro, y queda:

D/4 = tan(60°), multiplicas en ambos miembros por 4, y queda:

D = 4*tan(60°), reemplazas el valor exacto del factor trigonométrico, y queda:

D = 4*√(3) cm,

que es la longitud de la diagonal mayor del rombo.

Luego, planteas la expresión del área del rombo en función de las longitudes de sus diagonales, y queda:

A_R = (1/2)*d*D,

reemplazas valores, y queda:

A_R = (1/2)*4*4*√(3), 

resuelves las multiplicaciones de factores racionales, y queda:

A_R = 8*√(3) cm²,

que es el valor del área del rombo.

Espero haberte ayudado.