Vamos con una orientación.
Tienes las ecuaciones de la circunferencia y de la cardioide en coordenadas polares:
r = 1 (1) (circunferencia),
r = 1 - cosθ (2) (cardioide).
Luego, igualas las expresiones señaladas (1) (2), y queda la ecuación:
1 = 1 - cosθ, y de aquí despejas:
cosθ = 0, compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y tienes dos opciones:
θ1 = π/2 (correspondiente al punto de intersección superior),
θ2 = 3π/2 (correspondiente al punto de intersección inferior),
por lo que tienes que el intervalo de variación del argumento (θ) queda expresado:
π/2 ≤ θ ≤ 3π/2.
Luego, observa los rayos que has dibujado que atraviesan la región de interés que has sombreado con rojo, y verás que todos ellos "atraviesan" primero la circunferencia, y luego atraviesan a la cardioide, por lo que tienes que el intervalo de variación del radio (r) queda expresado:
1 ≤ r ≤ (1 - cosθ).
Luego, planteas la expresión del área de la región de interés como una integral doble en coordenadas polares, y queda:
AR = π/2∫3π/2 1∫(1-cosθ) r*dr*dθ,
integras para la variable r (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
AR = π/2∫3π/2 [ (1/2)*r2 ]*dθ,
extraes el factor constante, evalúas, y queda:
AR = (1/2) * π/2∫3π/2 ( (1-cosθ)2 - 1 )*dθ,
y puedes continuar con la integral (observa que deberás desarrollar el argumento y aplicar identidades trigonométricas).
Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.
Espero haberte ayudado.
