Vamos con una orientación.
Tienes la inecuación doble:
7/10 < p/q < 11/15, aquí multiplicas por 30 en los tres miembros de esta inecuación doble, y queda:
21 < 30p/q < 22, multiplicas por q en los tres miembros de esta inecuación doble, y queda:
21q < 30p < 22q,
y aquí observa que la expresión del segundo miembro de esta inecuación doble corresponde a un múltiplo de 30, y que las expresiones del primero y del tercer miembro corresponden a múltiplos de 21 y de 22 respectivamente, por lo que debes encontrar al primer múltiplo de 30 que esté comprendido entre 21q y 22q (observa que son dos múltiplos consecutivos de q).
Luego, planteas las secuencias correspondientes, y queda:
21q: 21, 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168, 189, 210, ...
22q: 22, 44, 66, 88, 110, 132, 154, 176, 198, 220, ...;
y observa que para los valores remarcados tienes que 150 es el primer múltiplo de 30 que está comprendido entre ellos, por lo tanto tienes:
147 = 21*7, por lo que aquí tienes: q = 7,
150 = 30*5, por lo que aquí tienes: p = 5,
154 = 22*7, por lo que aquí tienes: q = 7
Luego, puedes concluir que el mínimo valor de q es: q = 7, al que le corresponde: p = 5,
y con ellos tienes la expresión fraccionaria: p/q = 5/7 que indica el colega César.
Espero haberte ayudado.