Has probado a hacer un dibujo?

Si, me ha salido igual que a tí, pero la solución correcta del ejercicio dice que la ecuación tiene 4 raices con parte real e imaginaria distinta de 0.

eso es con numeros complejos hay que ver q z es la raiz cuarta de -4.
Paso1: hallar argumento, en tu caso sería pi, ya que el argumento es arcotangente de la parte imaginaria partido la parte real. Y al no haber parte imaginaria sería arcotangente de 0, que es cero y pi.

Paso 2:hallar modulo que seria raiz de la parte imaginaria al cuadrado,más la parte real al cuadrado. en tu caso es raiz cuadrada de 0 al cuadrado +(-4)al cuadrado. Que sería igual a 4. PERO OJO acuerdate de que tenias la raiz cuarta y tienes q ponerla, asi te quedaría raiz cuarta de 4 como módulo

Paso 3:hallar alfa que sera( Argumento +2*pi*k)/Numero de raíces (4 raíces en tu caso)

Paso4: tienes que sustituir k por valores desde el 0, en tu caso 0,1,2,3y te saldrán 4 raíces al aplicar formula de moivre (modulo*(cos(alfa)+i(sen(alfa))

TEN EN CUENTA QUE TE SALDRAN 4 RAÍCES PORQUE ALFA TOMA 4 VALORES DIFERENTES DEPENDIENDO DE K, ASÍ QUE TENDRÁS 4 ALFA DIFERENTES

Comprobado me salen que las raíces son 1+i,1-i,-1+i,-1-i

Espero haberte ayudado y una cosa que puedes hacer para ver si tienes la raíces bien es multiplicar (z-(1+i))*(z-(1-i)) y lo que te de por (z-(-1+i))*(z-(-1-i)) Pero es algo largo de hacer espero haberte ayudado y haber puesto todo bien.

No entendí como llegar al 1+i,1-i,-1+i,-1-i

Es como te dice Roberto, pensé que sabrías lo de las raíces de los complejos. Tienes que hallar la raíz 4ª de 4i. Sé que es un enlace externo, pero aquí tienes la fórmula de cómo se hace:
http://www.vitutor.com/di/c/a_10.html

Básicamente es hallar los vértices de un cuadrado regular en el que uno de los ángulo es el argumento del complejo y la distancia del centro del plano a los vértices el módulo.

Tienes que hacer la raiz cuarta del numero -4, que pasado a forma polar es 4 de modulo y 180º de argumento...
A partir de ahí en este video hago uno casi identico...... Numeros complejos 04 - Raiz

Corrigiendo un poco a Miguel de la Fuente, 4i (numero imaginario puro, de modulo 4 y argumento 90º) no es lo mismo que -4 (numero real, de modulo 4 y argumento 180º). Os recomiendo veáis este video... Numeros complejos 03 - De forma binomica a polar

David el módulo a mi me da raiz de 2. Está mal?

A mi también me salía raíz de 2

Obvie algunos pasos que supongo debes saber, pero si no coloca tu duda. Ojala y te sirva :)

Te has comido parentesis al hacerlo con la calculadora...
Deberías hacer tan^(-1) (4:3)...
De lo contrario, estarás haciendo arctan4 / 3 y no arctan(4/3)....
El resultado correcto es 53,13º...
Tambien puedes hacer directamente 4/3=1,33333. Y despues arctan1,3333... ¿mejor?

Tendrás que ser más concreto Chrissan para que podamos ayudarte. Es decir, si te refieres a cómo pasar ángulos de un cuadrante a otro; senos, cosenos y tangentes, etc.

. Es un tema que consiste en hallar el valor de un angulo mediante una circunferencia. Es decir, si el vértice de un angulo se encuentra en el centro, el angulo se determinara mediante el arco que forma sus lados( que se seria en este un angulo en el centro). Si el vértice del angulo se encuentra en la circunferencia y sus lados son dos cuerdas, la amplitud del angulo sera igual a la mitad del arco que formas dichos lados. El angulo que tiene su vértice en el centro se le llama angulo en el centro; el angulo que tiene su vértice en la circunferencia se le llama angulo inscrito; también hay otro cuyo angulo se encuentra fuera de la circunferencia que se le angulo exterior; como también hay otros tipos. Necesito entender este tema ya que para las pruebas de admisión de universidades están pidiendo el calculo de un angulo determinado mostrándome un montón de triángulos, cuadrados, cualquier tipo de figura pero mezcladas... y me han comentado que este tema de "ángulos en la circunferencia" es una herramienta muy util una vez que se entiende.

No podemos, lo siento, explicaros temas tan amplios como este por escrito desde un teclado... Y tampoco sabemos que temas enconcreto necesitas, el nivel que cursas, etc... Supongo lo entiendes... Si tienes algun EJMPLO CONCRETO con alguna DUDA CONCRETA, intentaremos ayudarte. ANIMO!

Por razones de seguridad informatica, yo al menos, accedo a ningun link externo desde unicoos.
Si nos envias una imagen (foto, no link) de tu duda podremos ayudarte mejor. Además, no se trata de haceros los deberes, sobre todo si son universitarios...
Se trata de que enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. #nosvemosenclase

∑6^-(5n²/(4n+3)) , estamos con una serie tipo ∑(a)^n geometrica, donde la serie converge si a<1

6^-(5n²/(4n+3))=1/6^(5n²/(4n+3)) <1 luego la serie converge

Gracias César!

:) Menos mal que tenemos a Cesar por aquí.

Hola Daniel
¿Y si nos envías lo que has hecho? Te podríamos ayudar mejor...

He empezado a hacerla y me he dado cuenta de que en el dominio es bastante fácil confundirse:
A ver si es eso.

Síííí. Era justo eso... ¿y hay algún truco para saber cuándo pasa?

Realmente no es fácil para bachiller, tendrias que asegurar que 2x²+x-1>0 en este caso, como comenta Leonel el dominio de ese polinomio seria
todo R-(-1,1/2) , quedando un cierto valor real elevado a x, [A^x]

Buenas, tiene una única solución porque si defines la función f(x)=4x³+3x²+2x+1 compruebas que tiene solución usando el teorema de Bolzano. Fíjate que el límite en -infinito de f(x) es -infinito y en +infinito es +infinito. Además, si estudias el crecimiento de la función usando la primera derivada, comprobarás que la ecuación f'(x)=0 no tiene solución y f'(x)>0 para todo x del dominio(en este caso es IR). Gráficamente, empiezas a dibujar desde "-infinito" y de forma creciente terminas dibujando en "-infinito". Solo corta una vez al eje de abscisas, por lo tanto, la ecuación tiene solución única.
De todas formas, te dejo un vídeo para ver si te sirve:
Teorema de Bolzano-Rolle unica raiz de una funcion
Saludos

Ber CP te lo ha explicado muy bien por Bolzano.
Te envío lo que yo hice en papel por Rolle, y con la explicación de la reducción al absurdo, pero como mejor lo entenderás es con el vídeo que te envió Ber.
Espero que te ayude:

Leonel, buen trabajo

Ojala y te sirva, cualquier duda comenta :)

Otra manera de hacerlo, seria calculando la interseccion de la recta que pasa por y-5=m(x-3) y la parabola, pero forzando la solucion una solucion doble (un solo punto de contacto).
y-5=m(x-3)
y = 3x²-2x-10
sustituyendo tendremos m(x-3)+5= 3x²-2x-10, operando un poco

3x²-x(m+2)+3m-15=0 atendiendo solo al discriminante de la ecuacion tendriamos

√[(m+2)²-12(3m-15)]=0 (solucion doble)
resolviendo m=16+6√2 y m=16-6√2 y estas serian las pendientes

las rectas pedidas serán
y-5=(16+6√2)(x-3)
y-5=(16-6√2)(x-3)

Gracias genios!
Luis, muy buena tu explicación. Me gustaría saber cómo lo entendiste, por ejemplo que significa la contante a? No lo entendí bien conceptualmente pero sí como para resolverlo.

César, tu método es similar e igual de bueno pero más corto que el de Luis. Me generó una duda, por qué solamente a la discriminante la igualas a cero? No tendría que ser -(-x(m+2)) +- √ ...?

La "a" es la coordenada en "x" de la parábola que forma la recta tangente al unirlo con el punto (3,5). Como ese valor no lo conocemos pues puse "a", pero bien pudo hacer sido x,y,z....

Ten en cuenta que el dibujo es guía, no quiere decir que el punto "a" es ese, de hecho son 2 puntos que cumplen lo que se pide. Ojala y se entienda, no dudes en preguntar si te surge alguna duda.

Se trata de que enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. En tu caso, por ejemplo, sería imprescindible que al menos nos envies un dibujo...
De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos....
Y el trabajo duro será el vuestro. #nosvemosenclase

en el primero me sale de relacion de 2 a 1 pero no es la respuesta he podido hacer el grafico

En ejercicios de este tipo, si no trabajáis duro vosotros y nos enviáis paso a paso todo lo que consigáis por vosotros mismos, es muy dificil ayudaros. Espero entiendas que no se trata de haceros los deberes... ANIMO!