Buenas, no sé como plantear el sistema para resolver este problema. Tienen que ser números enteros.
Tres amigos, Juan, Ana y Esteban, fueron con sus tres nietos, Alejandro, Ester y Paloma, a un almacén de pistachos.
Ante un saco de pistachos, el dueño les dijo:
—Coged los que queráis.
Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número “n” de veces, y cada vez, se llevó “n” pistachos, (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 7 veces, cada vez cogió 7 pistachos, y por tanto, se llevó 49 pistachos).
Además, cada abuelo cogió, en total, 45 pistachos más que su nieto.
Juan metió la mano 7 veces más que Paloma, y Alejandro 15 más que Esteban.
a) ¿Cómo se llama el nieto de Juan? ¿Y el de Ana?
b) ¿Cuántos pistachos se llevaron entre todos?
Sea x el número de veces que mete la mano un abuelo e y el número de veces que metió la mano su nieto.
Cada uno de ellos se lleva un número de pistachos que es un cuadrado perfecto
Abuelo x2 pistachos y su nieto y2 pistachos
Como sabemos que el abuelo se lleva 45 pistachos más que su nieto tenemos que:
x2=y2+45
Por lo que tenemos que:
x2 – y2 = 45 →(x + y) (x – y) = 45
(Aplicando que suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados)
Tenemos, por tanto, que el producto de dos números naturales igual a 45. Esto solamente ocurre en los siguientes casos:
9×5
15x3
45x1
(Fíjate que los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45)
1er caso: 9×5
(x + y) (x – y) = 45
x+y=9
x–y=5
Resolviendo el sistema tenemos que: x=7 e y=2
Esto significa que un abuelo cogió 7 puñados de 7 pistachos (49 pistachos en total) y su nieto, 2 puñados de 2 pistachos (4 pistachos en total)
2o caso: 15 ×3
(x + y) (x – y) = 45
x + y = 15
x-y=3
Resolviendo el sistema tenemos que: x = 9 e y = 6
Esto significa que otro de los abuelos cogió 9 puñados de 9 pistachos (81 pistachos) y su nieto, 6 puñados de 6 pistachos (36 pistachos en total)
3er caso: 45×1
(x + y) (x – y) = 45
x + y = 45
x – y = 1
Resolviendo el sistema tenemos que: x = 23 e y = 22
Esto significa que otro de los abuelos cogió 23 puñados de 23 pistachos (529 pistachos) y su nieto, 22 puñados de 22 pistachos (484 pistachos en total)
Tenemos, por tanto, que los abuelos han cogido 7, 9 y 23 veces y los nietos 2, 6 y 22 veces respectivamente.
Además como sabemos que Juan metió la mano 7 veces más que Paloma deducimos que Juan cogió 9 puñados y Paloma 2 puñados;
y como Alejandro 15 más que Esteban, Alejandro cogió 22 veces y Esteban 7
Ahora sabemos que:
Juan coge 9 puñados y Ester 6
Ana coge 23 puñados y Alejandro 22
Esteban coge 7 puñados y Paloma 2
La nieta de Juan se llama Ester, el de Ana se llama Alejandro y la de Esteban se llama Paloma.
Por último, el número total de pistachos que se llevaron entre todos será igual a:
81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1183 pistachos
