De poco sirve que te las hagamos nosotros si no lo intentas tú, previo estudio de la regla de la cadena y demás fórmulas de derivación.

La primera lo he intentado pero no me sale :(

rango (vL, vL') = 2  (ni son paralelas ni coincidentes).   Si tomamos el vector que une sus dos puntos  (3, 0, -3) y (0, 2, 3) obtenemos el vector (-3,2,6) = w.     rango (vL, vL', w) = 3.   Las rectas se cruzan en el espacio en distinta dirección, por lo tanto no determinan ningún plano.

a)

Planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas correspondientes a la función vectorial paramétrica de tu enunciado, y queda:

x = t + 1, y de aquí despejas: t = x - 1 (1),

y = t² - 2*t (2);

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en la ecuación señalada (2), y queda:

y = (x - 1)² - 2(x - 1), desarrollas el primer término, distribuyes el segundo término, y queda:

y = x² - 2*x + 1 - 2*x + 2, reduces términos semejantes, y queda:

y = x² - 4*x + 3,

que es la ecuación cartesiana explícita correspondiente a la función vectorial paramétrica que tienes en tu enunciado.

b)

Planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas correspondientes a la función vectorial paramétrica de tu enunciado, y queda:

x = 2^t (1),

y = 3*t, de aquí despejas: t = y/3 (2);

luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:

x = 2^y/3, compones en ambos miembros con la función logarítmica natural, aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia, y queda:

ln(x) = (y/3)*ln(2), multiplicas por 3 y divides por ln(2) en ambos miembros, y luego despejas:

y = 3*ln(x)/ln(2),

que es la ecuación cartesiana explícita correspondiente a la función vectorial paramétrica que tienes en tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Has mostrado correctamente que las rectas son secantes entre sí, has determinado correctamente el punto de intersección entre las rectas, has planteado correctamente la expresión del vector normal al plano que contiene a las rectas, y has determinado correctamente su ecuación cartesiana implícita.

¡Muy buen trabajo!

se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

y = mx+ n. 

Como pasa por    (1, 3)  tenemos que 3 = m.1 + n,   es decir  3 = m + n

Como pasa por (0, -1) tenemos que -1 = m.0 + n, es decir  n = -1.   Sustituyendo n en la ecuación anterior, resulta que 3 = m - 1, de donde m = 4.

La ecuación pedida es  y = 4x -1 

Recuerda que la gráfica de una función lineal es una recta.

Observa que tienes los puntos: A(1,3) y B(0,-1) que pertenecen a la recta que es la gráfica de la función a la que refiere tu enunciado.

Luego, planteas la expresión de la pendiente de una recta en función de las coordenadas de dos de sus puntos, y queda:

m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A), reemplazas los valores de las coordenadas de los puntos, y queda;

m = (-1 - 3)/(0 - 1), resuelves el numerador, resuelves el denominador, y queda:

m = -4/(-1), resuelves, y queda:

m = 4,

que es la pendiente de la recta.

Luego, con la pendiente de la recta y uno de sus puntos (nosotros elegimos el punto A), planteas la ecuación cartesiana punto-pendiente, y queda:

y = m*(x - x_A) + y_A, 

reemplazas el valor de la pendiente que tienes remarcado, reemplazas los valores de las coordenadas del punto A, y queda:

y = 4*(x - 1) + 3, distribuyes el primer término del segundo miembro, y queda:

y = (4*x - 4 + 3, reduces términos numéricos, y queda:

y = 4*x - 1,

que es la ecuación cartesiana explícita de la recta, que es la gráfica de la función lineal cuya expresión es:

f(x) = 4*x - 1.

Espero haberte ayudado.

¿Algun ejemplo? No entiendo tu duda

Como no tengo muy claro a que función te refieres en el apartado 1) te envío dos posibilidades: