¡Observa que la matriz A tiene una columna nula!
Por esta razón tienes que todas las matrices que son potencias de la matriz A también tendrán una columna nula y, por lo tanto no admitirán matrices inversas.
Por ejemplo, si planteas las primeras potencias (te dejo los cálculos) tienes:
A2 = A,
A3 = A,
A4 = A;
y luego puedes inferir (observa que cualquier otra potencia puede expresarse como producto entre las anteriores):
Ak = A, para todo k, con k ∈ N.
Luego, planteas la expresión de la multiplicación de la matriz B por la matriz C (te dejo los cálculos), y queda:
B*C =
0 0 0
1 1 2
-1 -1 -2.
Luego, solo queda que plantees la expresión general de la matriz X (observa que debe ser cuadrada de orden 3), y tienes:
B =
a b c
d e f
g h i.
Luego, tienes para el primer miembro de la ecuación matricial de tu enunciado (te dejo los cálculos):
Ak*X = A*X =
d+g e+h f+i
d e f
g h i.
Luego, igualas elemento a elemento entre las expresiones matriciales remarcadas, y tienes el sistema de nueve ecuaciones lineales de primer grado con seis incógnitas:
d + g = 0,
e + h = 0,
f + i = 0,
d = 1,
e = 1,
f = 2,
g = -1,
h = -1,
i = -2,
y observa que los valores remarcados verifican la tres primeras ecuaciones del sistema;
y como los elementos: a, b y c no están comprendidos por estas ecuaciones, entonces tienes que pueden tomar cualquier valor real, por lo que la expresión general de la matriz incógnita queda:
X =
a b c
1 1 2
-1 -1 -2,
con a ∈ R, b ∈ R y c ∈ R.
Espero haberte ayudado.
