L'Hopital

que propiedad  es la que uso para cambiar  - infinito a infinito? 

Observa que el lìmite es indeterminado, ya que el numerador (N) tienede a cero y el denominador (D) tiende a cero.

Luego, derivas el numerador y el denominador por separado, y quedan:

N ' = -1/sen²x,

D ' = -1/x².

Luego, tienes el lìmite de tu enunciado:

L = Lím(x→0+) cotg(x)/(1/x), aplicas la Regla de L'Hôpital, y queda:

L = Lím(x→0+) (-1/sen²x)/(-1/x²), resuelves la división de expresiones en el argumento, y queda:

L = Lím(x→0+) x²/sen²x (1);

y observa que el numerador (N₁) tienede a cero y que el denominador (D₁) tiened a cero.

Luego, derivas el numerador y el denominador por separado, y quedan:

N₁ ' = 2*x,

D₁ ' = 2*senx*cosx.

Luego, tienes el lìmite señalado (1):

L = Lím(x→0+) x²/sen²x,

aplicas la Regla de L'Hôpital, y queda:

L = Lím(x→0+) (2*x)/(2*senx*cosx), simplificas en el argumento, y queda:

L = Lím(x→0+) x/(senx*cosx) (2);

y observa que el numerador (N₂) tienede a cero y que el denominador (D₂) tiened a cero.

Luego, derivas el numerador y el denominador por separado, y quedan:

N₂ ' = 1,

D₂ ' = cosx*cosx + senx*(-senx) = cos²x - sen²x.

Luego, tienes el lìmite señalado (2):

porque el numerador es igual a 1 y el denominador tiende a 1.

Espero haberte ayudado.

Te agradezco de verdad Antonio por tu tiempo, excelente explicación.

El factor e^(2x)  tiende a 0. el factor trigonométrico está acotado y el denominador es una constante positiva. Por tanto, el límite vale 0.

No entiendo eso de que esta acotado el factor trigonometrico. Me podria explicar? pues el coseno no tiene valores al infinito. 

El seno y el coseno de cualquier ángulo tienen valores comprendidos entre  -1 y 1.

pero para realizar el limite no hay que colocar su valor exacto? 

 Me quedo de esta forma y no se me ocurre que otra cosa puedo hacer para resolverla 

Como no sé de qué repertorio teórico dispones, te mando una resolución básica:

Pon el ejercicio y nos lo miramos.

Saludos.

Pues me temo que no. Es la forma más secilla de hacerlo.