Tienes que el ángulo α pertenece al segundo cuadrante, y tienes:

senα = 3/5;

luego, tienes:

cosα = √(1-sen²α) = -√(1-9/25) = -√(16/25) = -4/5.

Tienes que el ángulo β pertenece al tercer cuadrante, y tienes:

cosβ = -1/4;

luego tienes:

senβ = √(1-cos²β) = -√(1-1/16) = -√(15/16) = -√(15)/4.

a)

Plantea la identidad trigonométrica del coseno de la suma de dos ángulos:

cos(α+β) = cosα*cosβ - senα*senβ, reemplazas valores, y queda:

cos(α+β) = (-4/5)*(-1/4) - (3/5)*( -√(15)/4 ) = 1/5 + 3*√(15)/20 = ( 4 + 3*√(15) )/20 > 0;

plantea la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos:

sen(α+β) = senα*cosβ + cosα*senβ, reemplazas valores, y queda:

sen(α+β) = (3/5)*(-1/4) + (-4/5)*( -√(15)/4 ) = -3/20 + √(15)/5 = ( -3 + 4*√(15) )/20 < 0;

luego, como el coseno de (α+β) es positivo, y el seno de (α+β) es negativo, 

puedes concluir que (α+β) pertenece al cuarto cuadrante.

b)

Plantea la identidad trigonométrica del coseno de la resta de dos ángulos:

cos(α-β) = cosα*cosβ + senα*senβ, reemplazas valores, y queda:

cos(α-β) = (-4/5)*(-1/4) + (3/5)*( -√(15)/4 ) = 1/5 - 3*√(15)/20 = ( 4 - 3*√(15) )/20 < 0;

plantea la identidad trigonométrica del seno de la resta de dos ángulos:

sen(α-β) = senα*cosβ - cosα*senβ, reemplazas valores, y queda:

sen(α-β) = (3/5)*(-1/4) - (-4/5)*( -√(15)/4 ) = -3/20 - √(15)/5 = ( -3 - 4*√(15) )/20 < 0;

luego, como el coseno de (α-β) es negativo, y el seno de (α-β) es negativo, 

puedes concluir que (α-β) pertenece al tercer cuadrante.

c)

Tienes que el ángulo β pertenece al tercer cuadrante, por lo que puedes plantear:

180° < β < 270°,

divides por 2 en los tres miembros de la doble inecuación (observa que no cambian las desigualdades), y queda:

90° < β/2 < 135°,

por lo que puedes concluir que β/2 pertenece a la primera mitad del segundo cuadrante;

luego, plantea la identidad trigonométrica del coseno de la mitad de un ángulo:

cos(β/2) = -√( (1+cosβ)/2 ) = -√( (1-1/4)/2 ) = -√( (3/4)/2 ) = -√(3/8) = -√(6/16) = -√(6)/4 < 0;

luego, plantea la identidad trigonométrica del seno de la mitad de un ángulo:

sen(β/2) = √( (1-cosβ)/2 ) = √( (1+1/4)/2 ) = √( (5/4)/2 ) = √(5/8) = √(10/16) = √(10)/4 > 0.

Espero haberte ayudado.

Gracias de verdad.

el resultado es cero

a) Fracciones parciales.

b) División del polinomio. 

 https://www.unicoos.com/video/matematicas/2-bachiller/determinantes/calculo-de-determinantes/determinante-4x4-por-adjuntos-cofactores

(-λ-1)*(λ-1)  +  ( ((1-λ)²-1)*(-λ-1)-4*(1-λ) )*(1-λ)  -  ( ((1-λ)²-1)/2 -2 )/2  +  5  

como queda arreglado

(4λ⁴-8λ³-25λ²+42λ+12)/4   =   λ⁴- 2λ³- (25λ²)/4 +(21λ)/2 + 3